【正文】 nn )(1? 11423nnn???????????收斂嗎 ? 解 : 因?yàn)? 111122nnnn? ? ? ????????????和 1143nn??????????均收斂 , 根據(jù)性質(zhì) 2,級(jí)數(shù)收斂 . 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 ?級(jí)數(shù)收斂的必要條件 下頁若級(jí)數(shù) ????1nnu 收斂 , 則必有 . 0l i m ???? nn u定理 n個(gè) 0 l i m 0 .nn u? ?? ?11nnu??????上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 ?級(jí)數(shù)收斂的必要條件 證 :?注意 :?? (1)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件 , 不能因?yàn)橐话沩?xiàng)趨于零就斷定級(jí)數(shù)收斂 ?? (2)如果一般項(xiàng) 不趨于 零 , 則級(jí)數(shù)必發(fā)散 ?? 因此此性質(zhì)常用于判斷級(jí)數(shù)發(fā)散 ??證 設(shè)級(jí)數(shù) ??? 1nnu 的部分和為 s n ,? 且 ss nn ???l i m ,? 則 0l i ml i m)(l i ml i m 110 ??????? ????????? ssssssu nnnnnnnnn ?? 0limlim)(limlim 110 ?????? ????????? ssssssu nnnnnnnnn ?? 下頁1 1 2 1nnS u u u??? ? ? ?? ?1l im l imn n nnnu S S ?? ? ? ???若級(jí)數(shù) ????1nnu 收斂 , 則必有 . 0l i m ???? nn u定理 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 由于 1 limlim???????? nnunnn故該級(jí)數(shù)發(fā)散 . ,0lim ???? nn u解 : 例 5 . 1 1的斂散性判別級(jí)數(shù) ???? ?n nn級(jí)數(shù)收斂的必要條件 : 若級(jí)數(shù) ????1nnu 收斂 , 則必有 . 0l i m ???? nn u,1111 lim ??????nn上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 是必要不充分條件 : 若 0l i m ??? nnu , 級(jí)數(shù) 卻 不一定收斂 , 如 ????1)11l n(n n. 再舉一例： 調(diào)和級(jí)數(shù) ?????????11312111n nn?? , 01lim ??? nn , ?級(jí)數(shù)收斂的必要條件 若級(jí)數(shù) ????1nnu 收斂 , 則必有 . 0l i m ???? nn u定理 但級(jí)數(shù)是否收斂 ? 例 4. 例 4 ? 證明調(diào)和級(jí)數(shù) ??? 11n n是發(fā)散的 ?? 1 2 3 4 5 6 7123這是因?yàn)? 11 1 1 1 11234nnkS kn?? ? ? ? ? ? ?????????? ?????? nnn Sn l i m,)1l n (l i m?y=1/x 發(fā)散。 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 上頁 下頁 鈴結(jié)束返回首頁第二節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 : ，中各項(xiàng)均有如果級(jí)數(shù) 01????nnn uu這種級(jí)數(shù)稱為 正項(xiàng)級(jí)數(shù) . : 定理 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列 }{ ns 有上界 . 這是因?yàn)?0?nu, 所以 }{ ns 單調(diào)增加 , 因此它有極限當(dāng)且僅當(dāng)它有上界 . 11n n???例 如nS極限不存在 nS? ? ??12nnS u u u? ? ? ?且 ),2,1( ??? nvu nn , 證明 nn uuus ???? ?21????1nnvs設(shè),nn vu ??,s?. 1收斂????nnu第一比較判別法 nvvv ???? ?21則 (1) 若 ??? 1nnv 收斂 , 則 ??? 1nnu 收斂； (2) 若 ??? 1nnu 發(fā)散，則 ??? 1nnv 發(fā)散 . (2)是 (1)的等價(jià)命題 . 則 即 ??? 1nnu 的 部分和數(shù)列有上界， 大收小收 , 小發(fā)大發(fā) . 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 注：定理的條件可放寬為： 從某項(xiàng)起 , 恒有 nn kvu ? , )0( ?k . 且 ),2,1( ??? nvu nn , 第一比較判別法 則 (1) 若 ??? 1nnv 收斂 , 則 ??? 1nnu 收斂； (2) 若 ??? 1nnu 發(fā)散，則 ??? 1nnv 發(fā)散 . 討論 p 級(jí)數(shù) ??? 11npn 的收斂性 ( 0?p ). 當(dāng) 1?p 時(shí) , 而調(diào)和級(jí)數(shù) ??? 11n n發(fā)散 , 故原級(jí)數(shù)發(fā)散； 當(dāng) 1?p 時(shí) , 用 積分判別法 : 解 例 2 ，nn p11 ?( 1 )111p nxnp?????? ，2?n , 而 11]1)1(1[11211 ?????????? pnnpnpp , 收斂 , 由比較判別法 , ????211n pn收斂 . 總結(jié) : ????????? 發(fā)散收斂 10 1 11 ppnn p 重要參考級(jí)數(shù) : p級(jí)數(shù) , 調(diào)和級(jí)數(shù)，幾何級(jí)數(shù)． 討論 p 級(jí)數(shù) ??? 11npn 的收斂性 ( 0?p ). 例 2 提示 : 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 4 5p p p p p p p? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? nn px x1 d ，]1)1(1[1111 ?? ???? pp nnp221111nnn ??因?yàn)?1nn?? , 而 ??? 21n n發(fā)散 , 所以原級(jí)數(shù)發(fā)散 . （但 ??? ?2 11n n如何？） 解 : 例 3 ??? ?2 11n n所 以nn111 ??, 因?yàn)?221nn?? , 所以22111nn ??. 而 ??? 221n n收斂 , 所以原級(jí)數(shù)收斂 . （但 ??? ?22 11n n如何？） 例 4 ??? ?12 11n n解 : 要應(yīng)用比較判別法來判別給定級(jí)數(shù)的收斂性 ,就必須 給定級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)與某一已知級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)之間的不等式 , 但有時(shí)直接建立這樣的不等式相當(dāng)困難 ,為應(yīng)用方便 ,我們給出 比較判別法的極限形式 . 定理 8 (第一比較判別法的極限形式 ) 11nnnnuv??????及 lim ,nnnu lv?? ?若兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 滿足 : (1)當(dāng) 0l+∞時(shí) , 級(jí)數(shù) 11nnnnuv??????和 同時(shí)斂散 。 (2)當(dāng) l= 0且級(jí)數(shù) 1nnv??? 也收斂 。 (2)當(dāng) l= 0且級(jí)數(shù) 1nnv??? 也收斂 。 則 (1) 兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性 ???? l0 (3) 當(dāng) 時(shí) , 若 ? ? ? 1 n n v 發(fā)散 , 則 ? ? ? 1 n n u 發(fā)散 。 0?l ???1nnv ???1nnu第一比較判別法的極限形式 : ?第二比較判別法 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 而 ??? 21n n發(fā)散 , 所以原級(jí)數(shù)發(fā)散 . 例 5 ??? ?2 11n n???? nnn111lim ，1?第二比較判別法 則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 解 : 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 6 ??? ?22 11n n，1111l i m 22 ???? nnn?第二比較判別法 則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 解 : 而221n n???收 斂 , 所以原級(jí)數(shù) 收 斂 . 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 ?第二比較判別法 則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 例 3 判別級(jí)數(shù) ??? 11s i nn n的收斂性 ?? 例 3??解 因?yàn)?111si nl i m ???nnn,? 而級(jí)數(shù) ??? 11n n發(fā)散 ,? 解 :?解 因?yàn)?111si nl i m ???nnn,? 而級(jí)數(shù) ??? 11n n發(fā)散 ,? 根據(jù)第二比較判別法知 .1s i n1發(fā)散???n n0sinlim 1xxx? ?上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 3 判別級(jí)數(shù) ??? 11s i nn n的收斂性 ?? 例 3??解 因?yàn)?111si nl i m ???nnn,? 而級(jí)數(shù) ??? 11n n發(fā)散 ,? 解 :?解 因?yàn)?111si nl i m ???nnn,? 而級(jí)數(shù) ??? 11n n發(fā)散 ,? 下頁根據(jù)第二比較判別法知 .1s i n1發(fā)散???n nnu 1pn實(shí)際是 與 同階無窮小 之間的比較 . 則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 0sinlim 1xxx? ?上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 15 判定級(jí)數(shù) 的斂散性 : 311n nn?? ???? (1)解 因3231l i m 1 ,1nnnn??? ?由比較判別法的極限形式知 收斂 . 311n nn?? ??33333311l i m l i m l i m1n n nnnnn n n nn n? ? ? ? ? ?? ????32311li m li m 1 ,11nnnnnn? ? ? ?? ? ?? ?則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 抓主要 項(xiàng) ?抓大頭 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) ???1