【正文】 由比值法， ?????1!2nnnnn 8. 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 比值判別法 ( D’ Alembert 法 ） 的應(yīng)用實(shí)例 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 必要條件 lim 0nn u?? ?不滿足 滿足 比值判別法 lim??n1nu?nu??根值判別法 limn nn u ??? ?1??收斂 1?? 不能 用它 1??比較判別法 級(jí)數(shù)發(fā)散 判別 內(nèi)容小結(jié)： 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 的審斂法 1nnu????lim nnnu lv?? ?un ?vn 1nnu????洛必達(dá)法則： ? ?? ?limfxgx00復(fù)雜的 型 , 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 作業(yè) P138 8. 13. (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) 6. 10. 11. 高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 —— 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) （ 一 ） 第五十二講 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 腳本編寫： 教案制作： 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 返回 首頁(yè) 鈴 一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 二、絕對(duì)收斂與條件收斂 167。由比值法， ???? 11002n nn 8. 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 比值判別法 ( D’ Alembert 法 ） 的應(yīng)用實(shí)例 ???? 1 !.nnnn例!)!1()1(l i ml i m11nnnnuunnnnnn????????????nn nn )1(l i m ?????發(fā)散。由比值法， ?????1 )2(12nnn 8. 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 比值判別法 ( D’ Alembert 法 ） 的應(yīng)用實(shí)例 8. 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 比值判別法 ( D’ Alembert 法 ） 的應(yīng)用實(shí)例 ?? ?????? ???222 2)1(1.nnnn nu例nnnnnnnnuu2)1(12)1)1((1l i ml i m2121???????????????1212)1)1(( 1l i m 22????? ????? nnn收斂。?????1nnu發(fā)散???? 11n n?第二比較判別法 則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? ???? ?1 )!1(.n nn例)!1()!2(1l i ml i m 1???????????nnnnuunnnn?10)2( 1l i m ???????? nnnn收斂。0l i m1????????? nnnn uu 收斂證：,212l i m12l i m ???????????nnnnnn uuuu收斂收斂 ???????? ???11 12n nnnn uuu23l im l im 3 0 ,n nnn nu uu? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? 收斂收斂 ??????????1213nnnn uu?第二比較判別法 則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? (4) 證明正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散的題型 . 發(fā)散。4nnnnne?????????? ? ?? ??a r c t a n( )( 2 ) lim 1 ,()nn nee?????解 :由 于 收斂 , 1()n nie???而1a r c t a n( ) nne???? 收斂 . 故 ?第二比較判別法 則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 0l im 1xa rc tgxx? ?nnnn nnu )322(.22?? ?????? ??例323332])32 31[(l i m)32 2(l i m ???????? ???? nnnnnn nnn?，0])32 31(l i m[ 23323l i m332????? ???????? ennnnnn發(fā)散。4nnnnne????????????sin4 ( 1 ) lim 1 ,4nnnnn?????解 由 于1 4nnn????而1si n 4nnn????收斂 , 收斂 . 故 ?第二比較判別法 則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 0sinlim 1xxx? ?si n4lim 14nnn?????????? ???????上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 9 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性 11( 1 ) s in 。故 ???? ?11nn nn (2) 利用比較法 （極限形式） 直接判斂題型 : 抓主要 項(xiàng) ?上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 15 判定級(jí)數(shù) 的斂散性 : 311n nn?? ???? (1)解 因331l i m 1 ,1nnnn??? ?由比較判別法的極限形式知 收斂 . 311n nn?? ??33333311l i m l i m l i m1n n nnnnn n n nn n? ? ? ? ? ?? ????32311li m li m 1 ,11nnnnnn? ? ? ?? ? ?? ?則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 抓主要 項(xiàng) ?抓大頭 綜上所述 ,? p ? 級(jí)數(shù) pn n11???當(dāng) p 1 時(shí)收斂 ,? 當(dāng) p ? 1 時(shí)發(fā)散 ?? 而 ??? 21n n發(fā)散 , 所以原級(jí)數(shù)發(fā)散 . 發(fā)散 . 收斂 . 例 5 ??? ?2 11n n，1111l i m ???? nnn例 6 ??? ??22 11n nn，1111lim2 ????? nnnn例 7 ????????? ?2211lnn n，1111lnlim 22 ??????? ??? nnn (3) 帶有參數(shù)的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的討論判斂題型 : 斂散性常數(shù)討論例 ),0()3( 1.121??? ??????????nnn nnu?? ???????1211nnn nv ?解：取??221)3(1limlimnnnvunnnn?????????0)31()3(l i m 22?????????nnnn同時(shí)斂散，與故 ???????? ? 12121)3(1nn nnn??收斂，時(shí)，當(dāng)?shù)?)12(121)(12 ?? ?????? ?n ni發(fā)散，時(shí)，當(dāng) )120(1210)(12 ???? ?????? ?n nii???????12 21)3(1n nn時(shí)收斂，當(dāng) ?? 時(shí)發(fā)散當(dāng) 210 ?? ?上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 9 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性 11( 1 ) s in 。 0?l ???1nnv ???1nnu, 設(shè) ? ? ? 1 n n u 與 ? ? ? 1 n n v 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 如果 ,lim lvunnn???上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 注 7 使用第一和第二比較判別法 ,需記住一些已知其收斂性的級(jí)數(shù) , 而且建立不等式關(guān)系也比較繁 . 而事實(shí)上 ,一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性有其自身內(nèi)在的本質(zhì) , 可以利用級(jí)數(shù)自身的特點(diǎn) ,來(lái)判定級(jí)數(shù)的收斂性 . 3211???????????????nnn uuuuu ,? ?第二比較判別法 則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 除了幾何級(jí)數(shù)外 ,數(shù)學(xué)中不存在任何一種它的和已被 嚴(yán)格確定的無(wú)窮級(jí)數(shù) . 阿貝爾 (Abel,Niels Henrik,18021829) 11 ,nnnnu aq qu aq????當(dāng)公比 | q | 1 時(shí) , 等比級(jí)數(shù)收斂； 當(dāng)公比 | q| ? 1 時(shí) , 等比級(jí)數(shù)發(fā)散 . qaqqaqaqaaqaqaqas nnnn ??????????????? ?111 12 ? ? ?1 .1naqq?? ?.1 aS q? ?(1) ρ 1時(shí) , 級(jí)數(shù)收斂； (2) ρ 1 ( 包括 ρ = ?? ) 時(shí) , 級(jí)數(shù)發(fā)散； (3) ρ= 1 時(shí) , 不能由此斷定級(jí)數(shù)的斂散性 . 利用級(jí)數(shù)本身來(lái)進(jìn)行判別 . ,11發(fā)散級(jí)數(shù) ???n n,112 收斂級(jí)數(shù) ???n n( 1)?? ???設(shè) ??? 1nnu 是正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 若 ????? nnn uu 1lim , 則 比值判別法 (達(dá)朗貝爾判別法 )： ,很大時(shí)當(dāng) n,1 ???nnuu!1)!1(11nnuunn????11?? n ,10 ??? ?? ??n例 11 ???1 ! 1n n收斂 . 解 : )!1(!??nn??? 1223c o snnnn?解 ,22 3c o s 2nnnnnnu ??? ,2 nnnv ?令nnnn