【正文】 vv nnnnnnnnn221lim221limlim111 ?????????????????nnn 21lim ?????,121 ??,21收斂????nnn根據(jù)第一比較判別法， 原級數(shù)收斂． 例 7 判別 的斂散性 . 比值判別法與比較判別法的綜合應(yīng)用 由比值判別法， ???? 1 !nnnnnn nn?????? ?????1l i m.!1發(fā)散由比值判別法， ????nnnn1l im ( 1 ) 1nnen? ? ?? ? ? ?例 8 判別 的斂散性 . 解 ,!nnu nn ?令上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 , 2 ,2 1而為正項級數(shù)則級數(shù)令 ?????nnnnnnu例 7 判別 1 2nnn????的斂散性 . 解 : ?比值判別法 (達朗貝爾判別法 ) 若正項級數(shù) ??? 1nnu 滿 足 ?????nnn uu 1l i m ,? 則當(dāng) ? 1 時級數(shù)收斂 ?? 當(dāng) ? 1 ( 或 ?????nnn uu 1l i m ) 時級數(shù)發(fā)散 ?? 121??? ?? ??n , nnnnuunnnnnn221221111 ????????nn21??收斂 . 例 13 ??? ??1 )12)(12(1n nn解 : )12)(12(1)32)(12(11??????nnnnuunn?,1?? ?? ??n所以用 比值法無法判斷 . 用第二比較判別法 , ，411)12)(12(1lim2 ????? nnnn收斂 . 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 8 假設(shè) 0,??判別 1npn n????? 的收斂性 . ?比值判別法 若正項級數(shù) ??? 1n nu 滿 足 ?????nnn uu 1l i m ,? 則當(dāng) ? 1 時級數(shù)收斂 ?? 當(dāng) ? 1 ( 或 ?????nnn uu 1l i m ) 時級數(shù)發(fā)散 ?? 解 : ,nn pu n??? ?111l i m l i mnpnnnnnpnuun????? ?? ? ????l im ,1pnnn??? ? ??????????則 (1)若 ,則級數(shù)收斂 . 1??(2)若 ,則級數(shù)發(fā)散 . 1??(3)若 ,此時 比值判別法失效 , 1??11 ,pn n????時 ,則級數(shù)收斂 , 1p? 時 ,則級數(shù)發(fā)散 . 1p?但此時原級數(shù)為 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 除了幾何級數(shù)外 ,數(shù)學(xué)中不存在任何一種它的和已被 嚴格確定的無窮級數(shù) . 阿貝爾 (Abel,Niels Henrik,18021829) ,nnn nu q q??當(dāng)公比 | q | 1 時 , 等比級數(shù)收斂； 當(dāng)公比 | q| ? 1 時 , 等比級數(shù)發(fā)散 . 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 定理 5. 根值判別法 ( Cauchy判別法 ) 設(shè) 為正項級 ,lim ???? n nn u則 數(shù) , 且 簡要說明： ,很大時當(dāng) n,??n nu ,nnu ??即.?? ? nnu ?l im ,n nnu ??????? ?因? ? ,1 ??nnu上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 時 , 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 . 說明 : 定理 5. 根值判別法 ( Cauchy判別法 ) 設(shè) 為正項級 ,lim ???? n nn u則 數(shù) , 且 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 定理 5. 根值判別法 ( Cauchy判別法 ) 設(shè) 為正項級 ,lim ???? n nn u則 數(shù) , 且 根值判別法適合 中含有某表達式的 次冪 . nu n例 15 解 : 12l i ml i m ?? ???? nnunn nn 21????????????1 12nnnn，1?所以級數(shù)收斂 . 例 16 ???????????11213nnnn解 : nnnnnn nnu1213limlim?????????????91? ，1?所以級數(shù)收斂 . 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 必要條件 lim 0nn u?? ?不滿足 滿足 比值判別法 lim??n1nu?nu??根值判別法 limn nn u ??? ?1??收斂 1?? 不能 用它 1??比較判別法 級數(shù)發(fā)散 判別 內(nèi)容小結(jié)： 正項級數(shù) 的審斂法 1nnu????lim nnnu lv?? ?un ?vn 1nnu????洛必達法則： ? ?? ?limfxgx00復(fù)雜的 型 , 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 6 判別級數(shù) 111lnnnnn???????????的收斂性 . ? ?? ?limfxgx00復(fù)雜的 型 , 解 : 令 ? ? ? ? ? ? ? ? 2l n 1 0 0 , ,f x x x x g x x? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ?由于 ? ?20l n 1l imxxxx????? ?0 0 011 1111l i m l i m l i m ,2 2 2 1 2x x xxxxx x x? ? ?? ? ????? ? ? ??從而 211l n 11l im ,1 2nnnn? ? ????????? ?211n n???? 是 級數(shù) , p 2,p ?其中 收斂 . 從而 收斂 . 1 11lnn nnn???????????洛必達法則： 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 作業(yè) P137 1. 2. (2)(4)(5)(8) 3.(2)(4)(6) 高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 —— 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) （ 一 ） 第五十一講 正項級數(shù)判別法應(yīng)用實例 腳本編寫： 教案制作： 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 必要條件 lim 0nn u?? ?不滿足 滿足 比值判別法 lim??n1nu?nu??根值判別法 limn nn u ??? ?1??收斂 1?? 不能 用它 1??比較判別法 級數(shù)發(fā)散 判別 內(nèi)容小結(jié)： 正項級數(shù) 的審斂法 1nnu????lim nnnu lv?? ?un ?vn 1nnu????洛必達法則： ? ?? ?limfxgx00復(fù)雜的 型 , ???????? ??11 131.nnn nu例,13 1?? nu n?是發(fā)散的，而 ???? 11n n也發(fā)散。 ???l (2) 當(dāng) 時，若 收斂 , 則 收斂 。 1 nn u???收斂時 , 級數(shù) (3)當(dāng) l= +∞且 級數(shù) 也發(fā)散 . 1nnv??? 發(fā)散時 , 級數(shù) 1 nn u????第二比較判別法 簡要說明 (3)： ,很大時此時當(dāng) n,1??nnvu , ?? ??nnnn vuvu因此得證 . l im + 1nnnuv????因 為 ，, 設(shè) ? ? ? 1 n n u 與 ? ? ? 1 n n v 都是正項級數(shù) 如果 ,lim lvunnn???, 當(dāng) 時 。 1 nn u???收斂時 , 級數(shù) ?第二比較判別法 簡要說明 (2)： ，因為 0lim ???nnn vu ,很大時則當(dāng) n,10 ??nnvu ,?? ?nn vu因此,nn vu ?即得證 . 定理 8 (第一比較判別法的極限形式 ) 11nnnnuv??????及 lim ,nnnu lv?? ?若兩個正項級數(shù) 滿足 : (1)當(dāng) 0l+∞時 , 級數(shù) 11nnnnuv??????和 同時斂散 。 ?第二比較判別法 簡要說明： ，比如 3lim ???nnn vu ,很大時則當(dāng) n,3?nnvu ,3nn vu ?即,3?? ? nn vu因此這樣兩級數(shù)有相同的斂散性 . 定理 8 (第一比較判別法的極限形式 ) 11nnnnuv??????及 lim ,nnnu lv?? ?若兩個正項級數(shù) 滿足 : (1)當(dāng) 0l+∞時 , 級數(shù) 11nnnnuv??????和 同時斂散 。級數(shù) ?????11n n)1ln (11111113221??????? ??????ndxxdxxdxxdxxnnn?? ?1111 l n l n 1 l n 11n nd x x nx? ?? ? ? ??上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 結(jié)束?級數(shù)收斂的必要條件 若級數(shù) ????1nnu 收斂 , 則必有 . 0l i m ???? nn u定理 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 ? ? ? ? ? ?2 1 2 11 1 1 1 ,nn?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?2 1 111nn??? ? ?? ? ? ?3 1 111 ?? ? ?? ? ,cb c b b c b ca a a a a?? ??? ?? ? ?? ? ? ?? ?221 1 1? ? ? ?nn12 ,?nn332 ?nn ? ?13 2? n上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 作業(yè) P126 1. 2. 3. 4. (1)(3)(5)(7)(8) 5.(1) 高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 —— 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) （ 一 ） 第五十講 正項級數(shù) 腳本編寫： 教案制作： 上頁 下頁 結(jié)束 返回 首頁 鈴 167。 )1(1111)1( 111 ?? ????????? ?????? nnn? ? ? ?1111 c o s c o s 1 c o s 2 c o s 3 c o s 4 1 c o s .nnnnn?? ???? ? ? ? ? ? ? ??例 1 1( 1 ) 1 1 1 1 ( 1 ) 。 214121211?? ?????????nnn。高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 —— 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) （ 一 ） 第四十九講 常數(shù)項級數(shù)的概念 腳本編寫： 教案制作： n個 0 lim 0 .nn u? ?? ?11Su? ,?2 1 2S u u?? ,?3 1 2 3S u u u? ? ? ,????121nn i niS u u u u?? ? ? ? ??? ?? 0 .9 9 9 9 9 ,? ???n個 9 l i m nSS? ??? ?? ?? ? ?通俗地說： 1 2 3 1u u u?