【正文】 ? ? ????? 無限多個數(shù)的和 可以 是一個有限的數(shù) . 引例 1: 0. 9 0. 09 0. 00 9 1.? ? ? ?? ? ?《 莊子 天下篇 》 ： “ 一尺之棰 ,日取其半 ,萬世不竭” . 意思是 : 一尺長的棍子 , 第一天取其一半 , 第二 天取其剩下的一半 , 以后每天都取其剩下的一 半 , 這樣永遠也取不完 . 引例 2 0 12141把每日所取排列起來： ,21 ，221 ，321 ，????????，n21棰取走的部分總共長： nns 2121212 ???? ?211)211(21?????????n.1?n????????211此是公比為 的等比數(shù)列， .021 ?n21?q???n?? ?????????nnn uuuuu 3211 — (常數(shù)項 )無窮級數(shù) 一般項 部分和數(shù)列 ???????niinn uuuus121 ?級數(shù)的部分和 ,11 us ? ,212 uus ??,3213 uuus ????? ,21 nn uuus ?????常數(shù)項級數(shù)的定義 :}{ 是一個數(shù)列假設 nuu1,?u2,?u3,??????,?un,????????,? 上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 下列各式均為常數(shù)項級數(shù) 。 211?? ?????????nnn。nnn???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 ?級數(shù)舉例 1 3121111??????????????? nnn 1 3121111??????????????? nnn調和級數(shù) )1( 1 321211)1( 11????????????????? nnnnn 1( 1 32 121 1)1( 11????????????????? nnnnn )1( 1 321211)1( 11???????????????? nnnnn 20???????????????nnnaqaqaqaaq 20???????????????nnaqaqaqaaq 幾何級數(shù) 1 31211 11?????????????? pppn p nn 1 31211 11?????????????? pppn p nn級數(shù)的展開形式 備注 一般項 簡寫形式 等比級數(shù) aqn?1 p— 級數(shù) 下頁1pnn1?級數(shù)斂散性定義 如果 }{ ns 沒有極限 ,? 則稱無窮級數(shù) ??? 1n nu 發(fā)散 ?? ( 包括極限為 ? ) , 12 .ns u u u? ? ? ? ?當 ??n 時 , 如果級數(shù) ??? 1nnu 的部分和數(shù)列 ns 有極限 s , 即 ss nn???l i m , 則稱無窮級數(shù) ??? 1nnu 收斂 , 上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 ?余項 rn?s?sn?un?1?un?2? ????? 當級數(shù) ??? 1n nu 收斂時 ,? 級 數(shù) 的 和 s 與 部分和 s n 的差值 叫做級數(shù) ??? 1n nu 的余項 ?? 下頁1 2 1 2n n nS u u u u u??? ? ? ? ? ? ?12nnS u u u? ? ? ?上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 例 2? 證明級數(shù) 1?2?3? ???????n? ????? 是發(fā)散的 ?? 此級數(shù)的部分和為 證 :?2)1( 321 ?????????? nnnsn ?? 2)1( 321 ?????????? nnnsn ?? 顯然 ,? ???? nn sl i m ,? 因此所給級數(shù)是發(fā)散的 ?? 顯然 ,? ???? nn sl i m ,? 因此所給級數(shù)是發(fā)散的 ?? 下頁上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 ? ??????1,0na a a a a??? ? ? ? ? ??故級數(shù)發(fā)散 . 12nnS u u u? ? ? ? ? ? ?l i m l i m ,nnnS n a? ? ? ?? ? ?例 1 討論級數(shù) 的斂散性 . 解 : 因 則 2 2 2? ? ? ?解 ，如果 1?q，qaqaqqa nn??????11)1(,1時當 ?q 0lim ??? nn q? qasnn ??? ?? 1l i m,1時當 ?q ???? nn ql i m? ????? nn sl i m收斂 發(fā)散 例 1 討論等比級數(shù) (幾何級數(shù) ) ?? ?????????nnn aqaqaqaaq 20)0( ?a 的收斂性 . 當公比 | q | 1 時 , 等比級數(shù)收斂； 當公比 | q | 1 時 , 等比級數(shù)發(fā)散 . ，如果 1?q,1時當 ?q,1時當 ??q??? nas n 發(fā)散 ????? aaaa級數(shù)變?yōu)椴淮嬖趎n s??? lim 發(fā)散 綜上所述 , ???????? 發(fā)散時當收斂時當,1,10 qqaqnn例 1 討論等比級數(shù) (幾何級數(shù) ) ?? ?????????nnn aqaqaqaaq 20)0( ?a 的收斂性 . 當公比 | q | 1 時 , 等比級數(shù)收斂； 當公比 | q| ? 1 時 , 等比級數(shù)發(fā)散 . 上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 僅當 | q |? 1 時 ,? 幾何級數(shù) nnaq??? 0( a ? 0) 收斂 ,? 其和為 qa?1 ?? 例 7 收斂嗎 ? 解 : 因為 1111 ,22nnnn? ? ? ????????????收斂 . 112nn????上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 例 8 討論 10111 2 3 1 05nn?????? ? ? ??? ? ? ?????的收斂性 . 僅當 | q |? 1 時 ,? 幾何級數(shù) nnaq??? 0( a ? 0) 收斂 ,? 其和為 qa?1 ?? 解 : 因 115nn??????????收斂 ,即 115nn??????????是一個有限的數(shù) , 而從 1加到 1010也是個有限的數(shù) , 因此級數(shù) 10111 2 3 1 05nn?????? ? ? ??? ? ? ?????收斂 . 例 2. 判別級數(shù) 的斂散性 : ???? ?? ??n解 : 12ln?nS? ?nn ln)1l n ()3ln4( l n)2ln3( l n)1ln2( l n ?????????? ?)1ln ( ?? n利用 “ 拆項 ” 求和 23ln?34ln?nn 1ln ??? ?所以級數(shù)發(fā)散 . 12nnS u u u? ? ? ??解 : ? ?11???nnu n?111???nn)1(1321211?????????nns n ?)111()4131()3121()2111( ?????????? nn?111???n.1, 和為級數(shù)收斂?,1?? ?? ??n例 2 討論無窮級數(shù) ?? ???????? )1(1321211nn的收斂性 . 性質 1 如果級數(shù) ??? 1nnu 收斂 , 則 ??? 1nnku 亦收斂 ，且有 .11 ???????nnnn ukku? ?nn uuukkukuku ????????????? 2121二、收斂級數(shù)的基本性質 sn、 sn、 tn,?則 這是因為 ,? 如果 ??? 1nnu 、 ??? 1nnv 、 )(1nnn vu ????的部分和分別為 )]( )()[(l i ml i m 2211 nnnnn vuvuvu ?????????? ???? t)] () [(l i m 2121 nnn vvvuuu ?????????????? ??ss ???? ?? ss nnn )(l i m ?? ss ???? ?? ss nnn )(lim ?? 結論 : 兩個收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減 . l i m l i m? ? ? ???nnnns s性質 2 設有兩個收斂級數(shù) ,1????nn su ,1s????nnv則級數(shù) 也收斂 , 且有 ? ? ??? ?????????111 nnnnnnn vuvu? ?????1nnn vu注 : (1) 不能由 ????1)(nnn vu 收斂推出 ??? 1nnu 、 ??? 1nnv 收斂； (2) 若 ??? 1nnu 收斂 , 而 ??? 1nnv 發(fā)散 , 則 ????1)(nnn vu 發(fā)散 . 證 (2): 而已知 ??? 1nnu 收斂 , 由定理 , 得 ??? 1nnv 收斂 , 矛盾 . 假設 收斂 , ? ? nnnn uvuv ???由上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 二、收斂級數(shù)的基本性質 性質 3 在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項 ,?不會改變級數(shù)的收斂性 ??? 比如 ,? 級數(shù) )1( 1 43 132 121 1 ??????????????? nn 是收斂的 ,? 級數(shù) )1( 1 43 132 121 110 000 ???????????????? nn 也 是 收斂 的 ,? 級數(shù) )1( 1 54 143 1 ????????????? nn 也是收斂的 ?? 性質 1 性質 1 如果 sunn ???? 1,? 則 kskunn ???? 1? 性質 2 性質 2 如果 sunn ???? s???? 1nnv ,? 則 s??????svu nnn )(1? 下頁上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 二、收斂級數(shù)的基本性質 推論 如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散 ,?則原來級數(shù)也發(fā)散 ??? 性質 1 性質 1 如果 sunn ???? 1,? 則 kskunn ???? 1? 性質 2 性質 2 如果 sunn ???? s???? 1nnv ,? 則 s??????svu nnn )(1? 性質 4 如果 級數(shù)收斂 ,?則對這級數(shù)的項任意 加 括號后所成的級數(shù)仍收斂 ,?且其和不變 ?? 性質 3 在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項 ,?不會改變級數(shù)的收斂性 ???下頁收斂 , 則 也收斂 . 上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 加 括號仍為收斂級數(shù) . 注 收斂級數(shù) 是收斂的 . 注 “ 加括號后所成的級數(shù)收斂 , 原級數(shù)不一定收斂 .” 例如級數(shù) 是發(fā)散級數(shù) . 但將相鄰的兩項加括號后所得級數(shù) 收斂 , 則 也收斂 . 上頁 下頁 鈴 結束 返回 首頁 僅當 | q |? 1 時 ,? 幾何級數(shù) nnaq??? 0( a ? 0) 收斂 ,? 其和為 qa?1 ?? 例 7 性質 2 性質 2 如果 sunn ???? s???? 1nnv ,? 則 s??????svu n