向量組的極大線性無(wú)關(guān)組(1)(編輯修改稿)
2025-06-19 23:20 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 量空間 167。 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 n 1. 向量組之間的線性表示 二、向量組的秩 定理 兩個(gè)等價(jià)的向量組中各自的極大線性無(wú)關(guān)組所含的向量 2. 向量組之間的等價(jià) 個(gè)數(shù)相等。 證明 即 可由 線性表示， riii ??? , 21 ? siii ??? ,21 ?因此 .sr?同理 .sr? 即得 .sr ?且 線性無(wú)關(guān)， riii ??? , 21 ?14 第三章 維向量空間 167。 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 n 1. 向量組之間的線性表示 二、向量組的秩 推論 (1) 若兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià)，則它們所含的向量 2. 向量組之間的等價(jià) 個(gè)數(shù)相等。 (2) 在一個(gè)給定的向量組中，各個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組所含 的向量個(gè)數(shù)相等。 組的向量個(gè)數(shù)是惟一的。 即一個(gè)向量組中各極大線性無(wú)關(guān) 15 第三章 維向量空間 167。 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 n 1. 向量組之間的線性表示 2. 向量組之間的等價(jià) 二、向量組的秩 定義 一個(gè)向量組中的極大線性無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)稱為 3. 向量組的秩 向量組的 秩 。 結(jié)論 等價(jià)的向量組秩相等。 16 第三章 維向量空間 167。 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 n 1. 向量組之間的線性表示 2. 向量組之間的等價(jià) 3. 向量組的秩 二、向量組的秩 4. 向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系 17 第三章 維向量空間 167。 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 n 設(shè) 定理 4. 向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系 二、向量組的秩 m??? , 21 ?? 的秩 則 )(Ar n??? , 21 ?? 的秩。 通常說(shuō)， 矩陣的秩等于 行秩 等于 列秩 (行秩 ) (列秩 ) 此定理給出了一種求向量組的秩的方法。 18 第三章 維向量空間 167。 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 n 證明 (1) 首先證明一個(gè)引理： QCP化為標(biāo)準(zhǔn)形 ,?????? tI 0 0 0 其中 .st?,1 ??????? tIP 0 0 0 可逆矩陣 P 和 使得 ,ssQ?事實(shí)上，對(duì)于矩陣 ? ? ,21 sC ??? ??下面利用反證法證明 .st ?可逆矩陣 P 和 使得 若 列 向量 線性無(wú)關(guān)， s??? , 21 ? 則存在 ? ? .21 ??????? ss IQP ??? ?0 ,Q??????? tIPP )( 21 0 0 0 QC ??????? ? tIP 1 0 0 0 即 一定存在 19 第三章 維向量空間 167。 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 n ? ??????????????sssssssqqqqqqqqqQC????????11222211121121 ???假設(shè) 則有 ,st?,2211 ????? sssss qqq ??? ?0 由 Q 可逆，有 不全為零， ssss qqq , 21 ?這與 線性無(wú)關(guān)矛盾，因此引理成立。 s??? , 21 ?證明 (1) 首先證明一個(gè)引理： 可逆矩陣 P 和 使得 若 列 向量 線性無(wú)關(guān)， s??? , 21 ? 則存在 ? ? .21 ??????? ss IQP ??? ?0 ,Q?????????????000?tIP10 ??20 第三章
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