平面曲線的切線與法線(編輯修改稿)
2025-06-19 02:37 本頁面
【文章內容簡介】 y?? ?? ? ? ? ?返回 后頁 前頁 sin , 1 c o s , 4 sin ( 2 ) .x t t y t z t? ? ? ? ?2?t ?2t ???2t? ???? ?0?t返回 后頁 前頁 2 2 2 2 2 2: 5 0 ,L x y z x y z? ? ? ? ?2 2 22 2 2( , , ) 50 ,( , , ) .F x y z x y zG x y z x y z? ? ? ?? ? ?例 5 求曲線 0 ( 3 , 4 , 5 )P在點 處的切線與法平面 . 解 曲線 L 是一球面與一圓錐面的交線 . 令 根據公式 (5) 與 (6), 需先求出切向向量 . 為此計算 0PF, G 在點 處的雅可比矩陣 : 返回 后頁 前頁 006 8 102.6 8 10x y zPPx y zF F F x y zG G G x y z?? ? ? ? ????? ? ? ? ???? ? ? ???由此得到所需的雅可比行列式 : 08 10( ) 160 ,8 10yzJP ? ? ??068( ) 0 ,68xyJP ??010 6( ) 120.10 6zxJP ???返回 后頁 前頁 ( 1 6 0 , 1 2 0 , 0 ) ( 4 , 3 , 0 ) ,? ∥? ? ?故切向向量為 據此求得 34, 3 4 25 0 ,43:5。5 0 ,xyxyzz???? ? ? ????????????切線 即: 4 ( 3 ) 3 ( 4 ) 0 ( 5 ) 0 ,4 3 0 ( ) .x y zx y z? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?法平面即 平行于 軸返回 后頁 前頁 三、曲面的切平面與法線 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) .xyz z f P x x f P y y? ? ? ? ?( , , ) 0 ( 7 )F x y z ?以前知道 , 當 f 為可微函數時 , 曲面 z = f ( x , y ) 0 0 0 0( , , )P x y z在點 處的切平面為 S現在的新問題是 : 曲面 由方程 0 0 0 0 0( , , ) , ( , , )P x y z S F x y z P? 在給出 . 若點 近旁 具有連續(xù)的一階偏導數 , 而且 0 0 0( ( ) , ( ) , ( ) ) ( 0 , 0 , 0 ) , ( 8 )x y zF P F P F P ?返回 后頁 前頁 000000()()( ) , ( ) ,( ) ( )yxxyzzFPFPf P f PF P F P? ? ? ?000 0 000()() ( ) ( ) .( ) ( )yxzzFPFPz z x x y yF P F P? ? ? ? ? ?0( ) 0 ,zFP ? 0P不妨設 則由方程 (7) 在點 近旁惟一 ( , ) .z f x y?地確定了連續(xù)可微的隱函數 因為 S 0P所以 在 處的切平面為 又因 (8) 式中非零元素的不指定性 , 故切平面方程 返回 后頁 前頁 一般應寫成 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 .( 9 )x y zF P x x F P y y F P z z? ? ? ? ? ?隨之又得到所求的法線方程為 0 0 00 0 0. ( 10 )( ) ( ) ( )x y zx x y y z zF P F P F P? ? ???回顧 1 現在知道 , 函數 在點 P 的梯度 ( , , )F x y zgr ad ( ) ( ) ( ) ( ) ,x y zF P F P i F P j F P k? ? ?其實就是等值面 在點 P 的法向量 : ( , , )F x y z c?返回 后頁 前頁 ( ( ) , ( ) , ( ) ) .x y zn F P F P F P?回顧 2 若把用方程組 (4) 表示的空間曲線 L 看作 ( , , ) 0 ( , , ) 0F x y z G x y z??和曲面 的交線 , 則 L 在 0P點 的切線與此二曲 面在 的法線都相垂 0P直 . 而這兩條法線的 方向向量分別是 01 ( , , ) ,x y z Pn F F F?02 ( , , ) ,x y z Pn G G G?1n? L0P( , , ) 0G x y z ?( ,
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