平面曲線的切線與法線-在線瀏覽
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【正文】 : s in , 1 c o s , 4 s in ( 2 )L x t t y t z t? ? ? ? ?00( 2 )Pt ??對應于在點 處的切線和法平面 . 0 ( 1 , 1 , 2 2 ) ,2P? ?解 容易求得 故切向向量為 0 0 0( ( ) , ( ) , ( ) )x t y t z t? ? ? ??由此得到切線方程和法平面方程分別為 ( 1 , 1 , 2 ) .?0 0 0( 1 c o s , s in , 2 c o s ( 2 ) )t t t??返回 后頁 前頁 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 2 2 ) 0 ,:2x y z?? ? ? ? ? ? ? ?2 4 .2x y z ?? ? ? ?即 syms t。 y=1cos(t)。 ezplot3(x,y,z,[2*pi,2*pi]) 繪制上述空間曲線的程序與所得圖形如下 : 22: 1 1 。5 0 ,xyxyzz???? ? ? ????????????切線 即: 4 ( 3 ) 3 ( 4 ) 0 ( 5 ) 0 ,4 3 0 ( ) .x y zx y z? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?法平面即 平行于 軸返回 后頁 前頁 三、曲面的切平面與法線 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) .xyz z f P x x f P y y? ? ? ? ?( , , ) 0 ( 7 )F x y z ?以前知道 , 當 f 為可微函數(shù)時 , 曲面 z = f ( x , y ) 0 0 0 0( , , )P x y z在點 處的切平面為 S現(xiàn)在的新問題是 : 曲面 由方程 0 0 0 0 0( , , ) , ( , , )P x y z S F x y z P? 在給出 . 若點 近旁 具有連續(xù)的一階偏導數(shù) , 而且 0 0 0( ( ) , ( ) , ( ) ) ( 0 , 0 , 0 ) , ( 8 )x y zF P F P F P ?返回 后頁 前頁 000000()()( ) , ( ) ,( ) ( )yxxyzzFPFPf P f PF P F P? ? ? ?000 0 000()() ( ) ( ) .( ) ( )yxzzFPFPz z x x y yF P F P? ? ? ? ? ?0( ) 0 ,zFP ? 0P不妨設 則由方程 (7) 在點 近旁惟一 ( , ) .z f x y?地確定了連續(xù)可微的隱函數(shù) 因為 S 0P所以 在 處的切平面為 又因 (8) 式中非零元素的不指定性 , 故切平面方程 返回 后頁 前頁 一般應寫成 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 .( 9 )x y zF P x x F P y y F P z z? ? ? ? ? ?隨之又得到所求的法線方程為 0 0 00 0 0. ( 10 )( ) ( ) ( )x y zx x y y z zF P F P F P? ? ???回顧 1 現(xiàn)在知道 , 函數(shù) 在點 P 的梯度 ( , , )F x y zgr ad ( ) ( ) ( ) ( ) ,x y zF P F P i F P j F P k? ? ?其實就是等值面 在點 P 的法向量 : ( , , )F x y z c?返回 后頁 前頁 ( ( ) , ( ) , ( ) ) .x y zn F P F P F P?回顧 2 若把用方程組 (4) 表示的空間曲線 L 看作 ( , , ) 0 ( , , ) 0F x y z G x y z??和曲面 的交線 , 則 L 在 0P點 的切線與此二曲 面在 的法線都相垂 0P直 . 而這兩條法線的 方向向量分別是 01 ( , , ) ,x y z Pn F F F?02 ( , , ) ,x y z Pn G G G?1n? L0P( , , ) 0G x y z ?( , , ) 0F x y z ?2n返回 后頁 前頁 1 2 0 0 00 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x y zx y zi j kn n F P F P F PG P G P G P? ? ? ?故曲線 (4) 的切向向量可取 的向量積 : 12nn與這比前面導出 (5) , (6) 兩式的過程更為直觀 , 也容 易記得住 . 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) .( , ) ( , ) ( , )P
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