【文章內(nèi)容簡介】 對于單變量系統(tǒng) ， 用 pzmap()函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)可求出系統(tǒng)的的零極點；對單多變量系統(tǒng) ，用 pzmap()可求出系統(tǒng)的特征向量和傳遞零點 。當帶有輸出變量時 ， 可得到零極點位置 ， 如需要可通過 pzmap(p,z)繪制出零極點圖 ， 圖中的極點用 “ ”表示 ， 零點用 “ o”表示 。 ? 對于圖 511所示的負反饋系統(tǒng) ， 其特征方程可表示為 ? ? 或 ? ? 利用 rlocus( )函數(shù)可繪制出當開環(huán)增益 K由 0至 ∝ 變化時 ， 閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在 s平面變化的軌跡 ， 該函數(shù)的調(diào)用格式為 ? [r,K]=rlocus(num,den) ? [r,K]=rlocus(num,den, K) ? 或 [r,K]=rlocus(A,B,C,D) ? [r,K]=rlocus(A,B,C,D, K) ? 其中 返回值 r為系統(tǒng)的閉環(huán)極點 ， ? K為相應(yīng)的增益 。 0)()(1 ?? sHsG0)( )(1 ?? sd en sn u mK+G ( s )H ( s )圖7 1 2圖 5－ 11 ? rlocus函數(shù)既適用于連續(xù)系統(tǒng)，也適用于離散系統(tǒng)。 rlocus（ num,den）或 rlocus（ A,B,C,D）繪制系統(tǒng)根軌跡時，增益 K是自動選取的， rlocus（ num,den,K）或 rlocus（ A,B,C,D,K）可利用指定的增益 K來繪制系統(tǒng)的根軌跡。在不帶有輸出變量的引用函數(shù)時， rlocus()可在當前圖形窗口中繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。當帶有輸出變量的引用函數(shù)時，可得到根軌跡的位置列向量 r及相應(yīng)的增益 K列向量，再利用 plot(r,’x’)可繪制出根軌跡。 ? 在系統(tǒng)分析過程中 ， 常常希望確定根軌跡上某一點處的增益值 K， 這時可利用 MATLAB中的 rlocfind( )函數(shù) ， 在使用此函數(shù)前要首先得到系統(tǒng)的根軌跡 ， 然后再執(zhí)行如下命令 ? [K,poles]=rlocfind(num,den) ? 或 [K,poles]=rlocfind(A,B,C,D) ? 執(zhí)行上述命令后 ， 將在屏幕上的圖形中生成一個十字光標 ， 使用鼠標移動它至所希望的位置 ， 然后敲擊鼠標左鍵即可得到該極點的位置坐標值 poles以及它所對應(yīng)的增益 K值 。 ? 例 514 已知某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ? 試繪制系統(tǒng)根軌跡 ， 并分析系統(tǒng)穩(wěn)定的 K值范圍 。 ? 解： MATLAB的程序為 ? % ? num=1。den=conv([1,0],conv([1,1],[1,2]))。 ? rlocus(num,den), ? [K,poles]=rlocfind(num,den)。 )2)(1()()(???sssKsHsG 執(zhí)行以上程序，并移動鼠標到根軌跡與虛軸的交點處單擊鼠標左鍵后可得如圖 512所示的根軌跡和如下結(jié)果： selected a point in the graphics window ? selected_point = ? ? K = ? ? poles = ? ? + ? 圖 512根軌跡圖 ? 由此可見根軌跡與虛軸交點處的增益K=6，這說明當 K 6時系統(tǒng)穩(wěn)定，當 K 6時，系統(tǒng)不穩(wěn)定；利用 rlocfind( )函數(shù)也可找出根軌跡從實軸上的分離點處的增益 K =, 這說明當 0 K ，系統(tǒng)為單調(diào)衰減穩(wěn)定，當 K 6時系統(tǒng)為振蕩衰減穩(wěn)定的。 ? sgrid（）函數(shù)可在連續(xù)系統(tǒng)的根軌跡或零極點圖上繪制出柵格線，柵格線由等阻尼系數(shù)和等自然頻率線構(gòu)成，阻尼系數(shù) 的步長為 ；自然頻率 的步長為 范圍為 。 ? sgrid（）函數(shù)有以下幾種調(diào)用格式。 ? sgrid %在已有的圖形上繪制柵格線 ? sgrid（’ new’） %先清除圖形屏幕，然后繪制 ? 出柵格線，并設(shè)置成 hold on,使后 ? 續(xù)的繪圖命令能繪制在柵格上； ? sgrid（ zeta,wn） %可指定阻尼系數(shù) 和自然頻率 ? 并且在繪制柵格線之前清除圖形窗口。 ? n?/10,? 0~?? 。n?（）函數(shù)可在連續(xù)系統(tǒng)的根軌跡或零極點圖上繪制出柵格線，柵格線由等阻尼系數(shù)和等自然頻率線構(gòu)成，阻尼系數(shù) 的步長為 ；自然頻率 的步長為 范圍為 。（）函數(shù)有以下幾種調(diào)用格式。在已有的圖形上繪制柵格線（’ ） 先清除圖形屏幕，然后繪制出柵格線，并設(shè)置成 使后續(xù)的繪圖命令能繪制在柵格上；（ ） 可指定阻尼系數(shù) 和自然頻率并且在繪制柵格線之前清除圖形窗口。（）函數(shù)可在連續(xù)系統(tǒng)的根軌跡或零極點圖上繪制出柵格線，柵格線由等阻尼系數(shù)和等自然頻率線構(gòu)成，阻尼系數(shù) 的步長為 ；自然頻率 的步長為 范圍為 。（）函數(shù)有以下幾種調(diào)用格式。在已有的圖形上繪制柵格線（’ ） 先清除圖形屏幕，然后繪制出柵格線，并設(shè)置成 使后續(xù)的繪圖命令能繪制在柵格上；（ ） 可指定阻尼系數(shù) 和自然頻率并且在繪制柵格線之前清除圖形窗口。? 【 例 5－ 15】 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： ? ，繪制根軌跡和柵格線。 ? 解： MATLAB的程序為 ? num=[2 5 1]。den=[1 2 3]。 ? rlocus(num,den)。sgrid。 ? 執(zhí)行后可得如圖 5－ 13所示的仿真結(jié)果。 ? 其中圓圈是等阻尼系數(shù)曲線，射線為等自然頻率曲線 222 5 1()23ssGsss????? 2 . 5 2 1 . 5 1 0 . 5 0 1 . 51 0 . 500 . 511 . 50 . 1 40 . 2 80 . 4 20 . 5 60 . 70 . 8 20 . 9 10 . 9 7 50 . 1 40 . 2 80 . 4 20 . 5 60 . 70 . 8 20 . 9 10 . 9 7 50 . 511 . 522 . 5R o o t L o c u sR e a l A x i sImaginary Axis圖 5－ 13根軌跡 控制系統(tǒng)的頻域分析 ? 頻域分析方法是應(yīng)用頻率特性研究控制系統(tǒng)的一種經(jīng)典方法。它的基本原理是，若一個線性系統(tǒng)受到頻率為 的正弦信號，但其幅值 M( )與輸入信號成比例關(guān)系，而且輸出與輸入信號之間有一個相位差 ， M( )和 是關(guān)于 的有理函數(shù)，這樣就可以通過 M( )和 來表示系統(tǒng)的特征了。 ? ??()??? ()?? ?? ()??頻率響應(yīng)研究系統(tǒng)的頻率行為，從頻率響應(yīng)中可得帶寬、增益、轉(zhuǎn)折頻率和閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性等系統(tǒng)特征。MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱提供了多種求取線性系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線的函數(shù)，如表 53所示。 函數(shù)名 功能 函數(shù)名 功能 logspace() 產(chǎn)生頻率向量 ngrid() 尼柯爾斯網(wǎng)格線 bode() 連續(xù)系統(tǒng)的伯德圖 sigma() 連續(xù)系統(tǒng)奇異值頻率圖 dbode() 離散系統(tǒng)的伯德圖 dsigma() 離散系統(tǒng)奇異值頻率圖 nyquist() 連續(xù)系統(tǒng)的奈奎斯特圖 freqresp() 求取頻率響應(yīng)值 dnyquist() 離散系統(tǒng)的奈奎斯特圖 evalfr() 求取單個復(fù)數(shù)頻率點處的頻率響應(yīng)值 nichols () 連續(xù)系統(tǒng)的尼柯爾斯曲線 margin() 求幅值裕量、相位裕量及對應(yīng)的轉(zhuǎn)折頻率 dnichols () 離散系統(tǒng)的尼柯爾斯曲線 表 5－ 3頻域響應(yīng)函數(shù) ?1. 產(chǎn)生頻率向量 ? 頻率向量可由 logspace( )函數(shù)來構(gòu)成 。此函數(shù)的調(diào)用格式為 ? ω=logspace(m,n,npts) ? 此命令可生成一個以 10為底的指數(shù)向量(10m∽ 10n )， 點數(shù)由 npts任意選定 。 （ Bode圖） 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 10111...()...mmmnnnb s b s bGss a s a??? ? ??? ? ?則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為： 系統(tǒng)的伯德圖就是幅值 與相位 分別對角頻率 進行繪圖。因此，也稱為幅頻和相頻曲線。根據(jù)開環(huán)的幅頻和相頻特性曲線，可求出幅值裕量和相位裕量。 10111( ) ( ) .. .()( ) ( ) .. .mmmnnnb j b j bGjj a j a???????? ? ??? ? ?()Gj? ()Gj???? 連續(xù)系統(tǒng)的伯德圖可利用 bode( )函數(shù)來繪制，其調(diào)用格式為 ? [mag,phase,w]=bode(num,den) ? [mag,phase, w]=bode(num,den, w) ? [mag,phase, w]=bode(A,B,C,D) ? [mag,phase, w]=bode(A,B,C,D,iu) ? [mag,phase, w]=bode(A,B,C,D,iu, w) ? 式中 ,num,den和 A,B,C,D分別為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程的參數(shù)，而 w為頻率點構(gòu)成的向量。 ? bode(num,den) %可繪制出以傳遞函數(shù)G(s)=num(s)/den(s)表示的系統(tǒng) Bode圖。 ? bode(A,B,C,D) %可繪制出以狀態(tài)空間表達式 所表示系統(tǒng)的每個輸入的 Bode圖。 ? bode(A,B,C,D,iu) %可得從系統(tǒng)第 iu個輸入到所有輸出的 Bode圖，其中頻率范圍由函數(shù)自動選取，而且在響應(yīng)快速變化的位置會自動采用更多取樣點。 ? bode(num,den,w) ? 和 bode(A,B,C,D,iu,w) %可利用指定的頻率點向量 繪制系統(tǒng)的 Bode圖。 ? bode函數(shù)本身可以通過輸入元素的個數(shù)來自動地識別給出的是傳遞函數(shù)模型還是狀態(tài)方程模型。當帶輸出變量引用函數(shù)時，可得到系統(tǒng) Bode圖相應(yīng)的幅值 mag，相位 phase及頻率點向量 ，其 ( , , , )A B C D???? 相互關(guān)系為 ? 相位以度為單位，幅值可轉(zhuǎn)換成以分貝為單位，即 1( ) ( )G j j?? ?? C I A B + D( ) ( ) , ( ) ( )m a g G j p h a s e G j? ? ? ?? ? ?( ) 2 0 * l o g 1 0 ( )m a g d B m a g?? 有 了 這 些 數(shù) 據(jù) 就 可 以 利 用 下 面 的MATLAB命令 ? subplot(2,1,1)。semilogx(w,20*log10(mag)) ? subplot(2,1,2)。semilogx(w,phase) ? 在同一個窗口上同時繪制出系統(tǒng)的 Bode圖了 ， 其中前一條命令中對幅值向量 mag求取分貝 (dB)值 。 ? 如果只想繪制出系統(tǒng)的 Bode圖 ， 而對獲得幅值和相位的具體數(shù)值并不感興趣 ，則可以采用如下簡單的調(diào)用格式 ? bode(num,den,ω) ? bode(A,B,C,D,iu,ω） ? 或更簡單地 ? bode(num,den) ? bode(A,B,C,D,iu) 例 516 已知二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 繪制出當 a分別取 , Bode圖 。 解： 當 a取 , Bode圖可直接采用 bode( )函數(shù)得到。