【正文】 0 . 5 0 0 . 5 1 0 . 2 0 . 100 . 10 . 2D i s c r e t e P o l e Z e r o M a pR e a l A x i sImaginary Axis圖 58 例 5－ 11的曲線 ?6. 任意輸入函數(shù)的響應(yīng) ? 連續(xù)系統(tǒng)對(duì)任意輸入函數(shù)的響應(yīng)可利用 MATLAB的函數(shù) lsim( )求取 ， 其調(diào)用格式為 ? [y,x]=lsim(num,den, u,t) ? 或 [y,x]=lsim(A,B,C,D,iu,u,t) ? 其中 u為給定輸入序列構(gòu)成的矩陣 ， 它的每列對(duì)應(yīng)一個(gè)輸入 ， 每行對(duì)應(yīng)一個(gè)新的時(shí)間點(diǎn) ， 其行數(shù)與時(shí)間 t的長(zhǎng)度相等 。[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)。dinitial(A,B,C,D,x0) ? axis([0 6 ])。x0=[1。) ? subplot(2,2,2)。 ? figure(1)。 ? T=。1。 。 ? ? 對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)由初始狀態(tài)所引起的響應(yīng) ，即零輸入響應(yīng) ， 可由函數(shù) initial( )來求得 ， 其調(diào)用格式為 ? [y,x,t]=initial(A,B,C,D,x0) ? 或 [y,x,t]=initial(A,B,C,D,x0,t) ? 其中 x0為初始狀態(tài) ， 其余參數(shù)定義同前 。0 2 0 2]。2 4。 。 title(‘Piscrete Step Response’) 執(zhí)行后得如圖 57所示的單位階躍響應(yīng)曲線。 例 59 已知二階離散系統(tǒng) 試求其單位階躍響應(yīng) 。end ? title(39。 ? figure(1)。 從圖中可以看出，在過阻尼 ( ) 和臨界阻尼 ( ) 響應(yīng)曲線中，臨界阻尼響應(yīng)應(yīng)具有最短的上升時(shí)間，響應(yīng)速度最快；在欠阻尼（ ） 響應(yīng)曲線中，阻尼系數(shù)越小，超調(diào)量越大，上升時(shí)間越短，通常取 1?? 1??01???0 .4 ~ 0 .8? ?? 為宜，這時(shí)超調(diào)量適度，調(diào)節(jié)時(shí)間較短。end title(39。hold on for k=zeta。 S t e p R e s p o n s eT i m e ( s e c )Amplitude0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 4S y s t e m : s y sP e a k a m p l i t u d e : 1 . 0 3O v e r s h o o t ( % ) : 2 . 5 5A t t i m e ( s e c ) : 5 . 8圖 53 例 5－ 6的單位階躍響應(yīng)曲線 ? 例 57 對(duì)于典型二階系統(tǒng) ? ? 試?yán)L制出無阻尼自然振蕩頻率 ωn=6， 阻尼比 ζ分別為 ,… ,位階躍響應(yīng)曲線 。plot(t,y) ? M=((max(y)1)/1)*100。den0=[1 8 36 40 0]。函數(shù)返回值 y為系統(tǒng)在各個(gè)仿真時(shí)刻的輸出所組成的矩陣；而 x為自動(dòng)選擇的狀態(tài)變量的時(shí)間響應(yīng)數(shù)據(jù) 。 ? 例 55 生成一個(gè)周期為 5秒 ， 持續(xù)時(shí)間為30秒 ， 采樣時(shí)間為 。)。P0,正定，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的 39。 ? i2=find(det(P)0)。Q=eye(size(A))。 Axx ??? 更一般的，利用函數(shù) P=lyap(A ,Q)可以求解下面給出的李雅普諾夫方程。end ? 在高階系統(tǒng)或者特征多項(xiàng)式中，當(dāng)某些系數(shù)不是數(shù)值時(shí)，利用求閉環(huán)極點(diǎn)或特征值的方法來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性是比較困難的。ii=find(real(r)0)。System is Stable39。 if (n0) disp(39。 P=poly(A)。 % A=[ 5 。 令特征多項(xiàng)式等于零，即得系統(tǒng)的特征方程 |sIA|=sn+a1sn1+…+ an1s+an＝ 0 的根稱為系統(tǒng)的特征值，即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。System is Stable39。,int2str(n1),39。ii=find(abs(r)1)。 解：則可利用下面的 MATLAB程序： % num0=[5 4 1 3 ]。System id Stable39。The Unstable Poles are:39。 [z,p]=tf2zp(num,den)。 ? ? 判斷一個(gè)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種最有效的方法是直接求出系統(tǒng)所有的極點(diǎn)，然后根據(jù)極點(diǎn)的分布情況來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對(duì)于極點(diǎn)的求取我們?cè)谏瞎?jié)中已作過介紹，下面舉例說明其判斷方法。對(duì)線性系統(tǒng)來說，如果一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)的所有極點(diǎn)都位于左半 s平面，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。其實(shí)，對(duì)于各種線性系統(tǒng)模型在典型輸入信號(hào)作用下來說，當(dāng)然沒有必要采用那些通用的算法來完成這種任務(wù)，而是應(yīng)該充分地利用線性系統(tǒng)的特點(diǎn)，采取更簡(jiǎn)單的方法來得到問題的解。第 5章 控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助分析 ? 系統(tǒng)仿真實(shí)質(zhì)上就是對(duì)描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。這樣做不但會(huì)大大提高運(yùn)算的效率，而且可以提高仿真的精度和可靠性。對(duì)離散系統(tǒng)來說，如果一個(gè)系統(tǒng)的全部極點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)，則此系統(tǒng)可以被認(rèn)為是穩(wěn)定的。 ? [例 51] 已知閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ? 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并給出不穩(wěn)定極點(diǎn)。 ii=find(real(p)0)。)。)。den0=[1 0 0 0 0 0]。n1=length(ii)。 unstable pole39。)。當(dāng)然判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性同樣可利用特征值來判斷。 。r=roots(P)。system is Unstable39。)。n=length(ii)。在這種情況下，利用李雅普諾夫第二法比較有效，尤其在系統(tǒng)含有非線性環(huán)節(jié)時(shí)更是如此。 ? AP+PB=Q (54) ? 對(duì)于離散系統(tǒng)的李雅普諾夫方程的求解函數(shù)為 ? dlyap(). ? 【 例 54】 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ? 其平衡狀態(tài)在坐標(biāo)原點(diǎn)處，試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。P=lyap(A,Q)。n2=length(i2)。)。 ? end 0111????????x = x執(zhí)行結(jié)果顯示： P0,正定，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的 課后作業(yè) ? P216， 7－ 1 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析 利用時(shí)域分析方法能夠了解控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，如系統(tǒng)的上升時(shí)間，調(diào)節(jié)時(shí)間，超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差都可以通過系統(tǒng)在給定輸入信號(hào)作用下的過渡過程來評(píng)價(jià)。 ? 解 Matlab窗口中執(zhí)行以下命令可得圖 52所示結(jié)果 。 ? 如只想繪制出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線 ， 則可以由如下的格式調(diào)用此函數(shù) ? step(num,den,t) ? step(A,B,C,D,t) ? 當(dāng)然 ， 時(shí)間向量 t 也可以省略 ， 此時(shí) ，MATLAB自動(dòng)選擇一個(gè)比較合適的仿真時(shí)間 。[num,den]=cloop(num0,den0)。disp([‘最大超調(diào)量M=‘ num2str(M) ‘%’]) ? 執(zhí)行結(jié)果為：最大超調(diào)量 M＝ %，單位階躍響應(yīng)曲線如圖 5－ 3中曲線所示。 2222)(nnnsssG???????解 MATLAB程序?yàn)? % wn=6。 num=wn.^2。Step Response39。 圖 54 例 5－ 7的單位階躍響應(yīng)曲線 ? 【 例 5－ 8】 對(duì)例 5－ 7中典型二階系統(tǒng)，繪制出 ? ， 取 2， 4， 6， 8， 12時(shí)的單位階躍響應(yīng)。hold on ? for wn = w ? num=wn.^2。Step Response39。 解： MATLAB程序?yàn)? % num=[2 ]。 )(22?????zzzzzG圖 57 例 5－ 9的單位階躍 響應(yīng)曲線 ? 例 510 對(duì)于多入多出系統(tǒng) ? 求單位階躍響應(yīng)。 1。2 2。D=zeros(2,2)。 ? 同樣對(duì)于離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)函數(shù) dinitial()的調(diào)用格式為： ? [y,x]=dinitial(A,B,C,D,x0) ? 或 [y,x]=dinitial(A,B,C,D,x0,n) ? 其中 ,n為取樣點(diǎn)數(shù) ， 省略時(shí)由函數(shù)自動(dòng)選取 。0 0 0]。0]。[A,B,C,D]=c2dm(A1,B1,C1,D1,T,39。subplot(2,2,1)。dimpulse(A,B,C,D),title(39。1。title(39。pzmap(z,p)。 其他用法同 step( )函數(shù) 。 ? t=(0::10)。title(39。 ? 【 例 5－ 13】 對(duì)離散系統(tǒng) ? 求當(dāng)輸入為幅值 177。 ? u1=[ones(1,50),1*ones(1,50)]。) ? 執(zhí)行后可得如圖 5－ 10所示的仿真結(jié)果。 ? 關(guān)于控制系統(tǒng)的根軌跡分析，在 MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中提供了幾個(gè)函數(shù)，如表 5－ 2所示。 ? 對(duì)于單變量系統(tǒng) ， 用 pzmap()函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)可求出系統(tǒng)的的零極點(diǎn)；對(duì)單多變量系統(tǒng) ，用 pzmap()可求出系統(tǒng)的特征向量和傳遞零點(diǎn) 。 rlocus（ num,den）或 rlocus（ A,B,C,D）繪制系統(tǒng)根軌跡時(shí)，增益 K是自動(dòng)選取的， rlocus（ num,den,K）或 rlocus（ A,B,C,D,K）可利用指定的增益 K來繪制系統(tǒng)的根軌跡。 ? 例 514 已知某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ? 試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡 ， 并分析系統(tǒng)穩(wěn)定的 K值范圍 。 )2)(1()()(???sssKsHsG 執(zhí)行以上程序，并移動(dòng)鼠標(biāo)到根軌跡與虛軸的交點(diǎn)處單擊鼠標(biāo)左鍵后可得如圖 512所示的根軌跡和如下結(jié)果： selected a point in the graphics window ? selected_point = ? ? K = ? ? poles = ? ? + ? 圖 512根軌跡圖 ? 由此可見根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的增益K=6，這說明當(dāng) K 6時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng) K 6時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定；利用 rlocfind( )函數(shù)也可找出根軌跡從實(shí)軸上的分離點(diǎn)處的增益 K =, 這說明當(dāng) 0 K ，系統(tǒng)為單調(diào)衰減穩(wěn)定，當(dāng) K 6時(shí)系統(tǒng)為振蕩衰減穩(wěn)定的。 ? n?/10,? 0~?? 。（）函數(shù)可在連續(xù)系統(tǒng)的根軌跡或零極點(diǎn)圖上繪制出柵格線，柵格線由等阻尼系數(shù)和等自然頻率線構(gòu)成，阻尼系數(shù) 的步長(zhǎng)為 ；自然頻率 的步長(zhǎng)為 范圍為 。 ? 解： MATLAB的程序?yàn)? ? num=[2 5 1]。 ? 執(zhí)行后可得如圖 5－ 13所示的仿真結(jié)果。MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱提供了多種求取線性系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線的函數(shù)，如表 53所示。因此，也稱為幅頻和相頻曲線。 ? bode(A,B,C,D) %可繪制出以狀態(tài)空間表達(dá)式 所表示系統(tǒng)的每個(gè)輸入的 Bode圖。當(dāng)帶輸出變量引用函數(shù)時(shí)，可得到系統(tǒng) Bode圖相應(yīng)的幅值 mag，相位 phase及頻率點(diǎn)向量 ，其 ( , , , )A B C D???? 相互關(guān)系為 ? 相位以度為單位，幅值可轉(zhuǎn)換成以分貝為單位，即 1( ) ( )G j j?? ?? C I A B + D( ) ( ) , ( ) ( )m a g G j p h a s e G j? ? ? ?? ? ?( ) 2 0 * l o g 1 0 ( )m a g d B m a g?? 有 了 這 些 數(shù) 據(jù) 就 可 以 利 用 下 面 的MATLAB命令 ? subplot(2,1,1)。 解： 當(dāng) a取 , Bode圖可直接采用 bode( )函數(shù)得到。num=9。 title(‘Bode plot’)。 利用 MATLAB控制系統(tǒng)工具箱提供的 margin( )函數(shù)可以求出系統(tǒng)的幅值裕量與相位裕量 ， 該函數(shù)的調(diào)用格式為 ?