【正文】 但 Nichols圖的繪制方式和 Bode圖是不同的 ， 它可由以下命令繪制 ? plot(phase,20*log10(mag)) ? 當(dāng)然 ， Nichols圖也可采用與 Bode圖類似的簡單命令來直接繪制 。 例 523 已知單位負反饋的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制 Nichols圖 。 解 MATLAB程序為 % num=1。den=conv([1,0],conv([1,1],[,1]))。 w=logspace(1,1,400)。 [mag,phase]=nichols(num,den,w)。 plot(phase,20*log10(mag)) ngrid 執(zhí)行后可得如圖 520所示的 Nichols圖 。 ))(1(1)()(???ssssHsG圖 521 例 5－ 23的 Nichols圖 ? ? 離散時間系統(tǒng)的頻率分析也可以調(diào)用相應(yīng)的 MATLAB控制系統(tǒng)工具箱函數(shù)來完成 ， 這些函數(shù)是以連續(xù)系統(tǒng)的函數(shù)名前加一字母 d來命名的 ， 例如離散時間系統(tǒng)的 Bode圖可以由dbode( )函數(shù)求出 ， 離散時間系統(tǒng)的 Nyquist圖可以由 dnyquist( )函數(shù)來求出 ， 以及離散時間系統(tǒng) Nichols圖可以由 dnichols( )函數(shù)來求出 ，其實在 MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中這樣的函數(shù)命名方式是相當(dāng)普遍的 ， 它們的調(diào)用格式與連續(xù)系統(tǒng)類似 。 例如 ， dbode()函數(shù)的調(diào)用格式為： [mag,phase]=dbode(num,den,Ts,w) ? 或 [mag,phase]=dbode(G,H,C,D,Ts,iu,w) ? 式中， num,den和 G,H,C,D分別為離散系統(tǒng)傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程模型的參數(shù)。 Ts為采樣周期；iu為輸入序號； w仍為頻率向量。當(dāng) w省略時，頻率點在 0~ 弧度之間自動選取。返回值mag,phase則分別為該系統(tǒng)的幅值和相位向量，通過它們可以繪制出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線。當(dāng)然這一函數(shù)的調(diào)用格式也可以簡化成下面格式 : ? dbode(num,den,Ts,w) ? dbode(G,H,C,D,Ts,iu,w) ? 更簡單地 dbode(num,den, Ts) ? 或 dbode(G,H,C,D,Ts,iu) ? 在這種情況下 ， 將直接繪制出離散時間系統(tǒng)的Bode圖 。 ? 【 例 5－ 24】 已知開環(huán)系統(tǒng)的離散時間狀態(tài)空間表達式為： /Ts?? 試繪制出 Bode圖（設(shè)采樣周期為 Ts=） ? 解： MATLAB命令為 ? % ? G=[1 2 2。0 1 1。1 0 1]。H=[2。0。1]。C=[1 2 0]。D=0。 ? dbode(G,H,C,D,1)。grid ? 如圖 5－ 21所示。 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 2 2( 1 ) 0 1 1 01 0 1 11 2 0k T k T u k Ty k T k T? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ??xxx5432101Magnitude (dB)101100101102 2 0 1 001020Phase (deg)B o d e D i a g r a mF r e q u e n c y ( r a d / s e c )圖 5－ 21 例 5－ 24的 Bode圖 ? ? 帶有時間延遲的連續(xù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型可以寫成： ? 式中， 為延遲時間常數(shù)； 為不帶有時間延遲的傳遞函數(shù)模型。由此可見，帶有時間延遲的系統(tǒng)從某種意義上說，相當(dāng)于在一個不帶時間延遲的傳遞函數(shù)模型后面串接一個純時間延遲環(huán)節(jié) 。 ? 帶時間延遲的狀態(tài)方程模型可以寫成： ? ? 函數(shù)的調(diào)用格式為 ? [num,den]=pade(τ,n) 101111...( ) ( )...mmssmnnnb s b s bG s e G s es a s a??????? ? ???? ? ?? 1()Gsse??（ 5－ 5） 時間延遲系統(tǒng)的頻率分析帶有時間延遲的連續(xù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型可以寫成：式中， 為延遲時間常數(shù)； 為不帶有時間延遲的傳遞函數(shù)模型。由此可見，帶有時間延遲的系統(tǒng)從某種意義上說，相當(dāng)于在一個不帶時間延遲的傳遞函數(shù)模型后面串接一個純時間延遲環(huán)節(jié) 。帶時間延遲的狀態(tài)方程模型可以寫成：( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )t t tttt?????? ???x = A x B uy = C x Du（ 5－ 6） 其中， 矩陣和不含有時間延遲是類似的。 帶時間延遲的連續(xù)控制系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可以由以下兩種方法直接求得，即精確法和近似法。 （ 1）首先求出不含時間延遲的傳遞函數(shù)模型 的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng) ,這樣整個系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)和 的幅頻響應(yīng)是一致的，而相頻響應(yīng)等于 的相位再減去 ，亦即 （ 2）先將純時間延遲環(huán)節(jié) 近似為有理函數(shù)（即傳遞函數(shù)類的分子分母多項式）的形式，再根據(jù)串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)來算出頻率響應(yīng)。 A, B, C, D1()Gs1()Gs 1()Gs??11( ) ( ) , ( ) ( )G jw G jw G jw G jw ??? ? ? ? ?se??se??? 純時間延遲環(huán)節(jié) 常采用 近似方法，它是 1892年由法國數(shù)學(xué)家 提出的一種著名的有理近似方法，其表達式為： ? 式中， 稱為 近似系數(shù)。它利用 MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中提供的函數(shù)pade()求得，該函數(shù)的調(diào)用格式為 ? [num,den]=pade(tau,n) ? 式中， tau為延遲時間常數(shù) ； n為要求擬合的階數(shù)；調(diào)用該函數(shù)后將返回 pade近似的傳遞函數(shù)模型 num,den。一般情況下，取 pade近似的擬合階次為 3或 4就可以獲得相當(dāng)滿意的精度。 PadePade? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?231 2 1231 2 11 / 21 / 2nnsnns p s p s p ses p s p s p s? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?12, , ..., np p p Pade?? 【 例 5－ 25】 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： ? 采用精確法和近似法分別計算出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。 ? 解： MATLAB程序為： ? % ? num1=[1 1]。 ? den1=conv([1,2],conv([1,2],[1,2]))。 ? w=logspace(1,2)。tau=。 ? [m1,p1]=bode(num1,den1,w)。 ? p1=p1tau*w39。*180/pi。 ? [n2,d2]=pade(tau,4)。 ? numT=conv(n2,num1)。denT=conv(den1,d2)。 ? [m2,p2]=bode(numT,denT,w)。 ? subplot(2,1,1)。 ? semilogx(w,20*log10(m1),w,20*log10(m2),39。39。) ? subplot(2,1,2)。semilogx(w,p1,w,p2,39。39。) ? ?0 .531()2ssG s es????? 執(zhí)行后可得如圖 5－ 22所示的 Bode圖，圖中實線為系統(tǒng)采用精確法后的 Bode圖，虛線為系統(tǒng)采用近似法的 Bode圖。 101100101102 1 0 0 8 0 6 0 4 0 2 00101100101102 4 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 00圖 5－ 22 Bode圖 對于某些比較復(fù)雜的控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型往往沒有辦法從物理上得出，但可以通過適當(dāng)?shù)膶嶒炇侄螠y試出系統(tǒng)的某種響應(yīng)信息，如可以通過頻率響應(yīng)測試出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)，或通過數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)來測試出系統(tǒng)時間響應(yīng)的輸入與輸出數(shù)據(jù)。有了系統(tǒng)的某種響應(yīng)數(shù)據(jù)，就可以根據(jù)它來獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。這種獲得數(shù)學(xué)模型的過程稱為系統(tǒng)辨識。 在 matlab信號處理工具箱中，給出了一個根據(jù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)來辨識系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型的函數(shù) invfreqs()，該函數(shù)的調(diào)用格式為： [num,den]=invfreqs(F,w,m,n) 式中， w為由頻率點構(gòu)成的向量； F為復(fù)數(shù)向量，其實部和虛部為辨識時用到的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)的實部和虛部數(shù)據(jù)； m和 n分別為待辨識系統(tǒng)的分子和分母階次。返回的 num和 den分別為辨識出傳遞函數(shù)分子和分母的系數(shù)向量，即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。如果給出系統(tǒng)的幅頻和相頻 phase響應(yīng)數(shù)據(jù)，則可以由下面的方式來調(diào)用 invfreqs()函數(shù)。 ? [num,den]=invfreqs(mag.*exp(sqrt(1)*phase),w,m,n) ? 除了由頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)來辨識系統(tǒng)模型外，還可以根據(jù)階躍響應(yīng)及脈沖響應(yīng)數(shù)據(jù)對系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進行辨識，其具體的做法是，首先將階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)或脈沖響應(yīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為響應(yīng)的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)，然后再根據(jù)上面的方法來辨識原系統(tǒng)的模型。由脈沖響應(yīng)數(shù)據(jù)求取頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)的方法是很顯然的，因為脈沖響應(yīng)函數(shù) g(t)和頻率響應(yīng)函數(shù) G(j )滿足下面的關(guān)系： ? 其中， Tf取得足夠大就可以由數(shù)值積分的算法得出頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)。這樣由脈沖響應(yīng)數(shù)據(jù)的辨識問題就轉(zhuǎn)換成由頻率響應(yīng)辨識的問題了。另外，由控制理論可知，若已知系統(tǒng)的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)，則可以通過數(shù)值微分的方法得出系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)數(shù)據(jù)，從而最終由已知的方法辨識出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。 ?00( ) ( ) ( )fTj t j tG j g t e dt g t e dt??? ? ??????? 【 例 5－ 26】 利用例 5－ 18在給定頻率范圍上求得的頻率響應(yīng)值 F，辨識系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。 ? 解： MATLAB程序為： ? % ? w=logspace(1,1)。num=[1 7 24 24]。den=[1 10 35 50 24]。 ? F=freqresp(num,den,sqrt(1)*w) ? [num,den]=invfreqs(F,w,3,4),printsys(num,den) ? 結(jié)果顯示： ? num = ? ? den = ? ? ? num/den = ? ? 1 s^3 + 7 s^2 + 24 s + 24 ? ? s^4 + 10 s^3 + 35 s^2 + 50 s + 24 ? 利用 MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱，不僅可以分析系統(tǒng)的能控性和能觀測性。而且可對不完全能控或不完全能觀測的系統(tǒng)進行結(jié)構(gòu)分解，函數(shù)如表 5－ 4所示。 系統(tǒng)的能控性和能觀測性分析 函數(shù)名 功能 ctrb() 求能控性矩陣 obsv() 求能觀測性矩陣 gram() 求能控性或能觀測性Gram矩陣 表 5－ 4 模型屬性函數(shù) 函數(shù)名 功能 dgram() 求離散系統(tǒng)的能控性或能觀測性 Gram矩陣 ctrbf() 將系統(tǒng)按能控性和不能控性進行分解 obsvf() 將系統(tǒng)按能觀測性和不能觀測性進行分解 續(xù)表 ? 系統(tǒng)的能控性和能觀測性 ? 能控性和能觀測性是現(xiàn)代控制理論中兩個重要的基本概念，是設(shè)計控制器和狀態(tài)估計器的基礎(chǔ)。 ? 系統(tǒng)的能控性是指系統(tǒng)的輸入能否控制狀態(tài)的變化。而系統(tǒng)的能觀測性是指系統(tǒng)狀態(tài)的變化能否由系統(tǒng)的輸出反映出來。 ? ? 對于 n階線性定常系統(tǒng) ? 能控性矩陣為 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )t t tt t t???? ???