用復(fù)變函數(shù)來表示平面向量場(編輯修改稿)
2025-06-17 11:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 勢線，這樣就可以了解流動的情況。 例 1 考查復(fù)勢為 ( ) , ( , )f z ax x y ay???故勢線是 1,xc?流線是 2yc? 12(,cc 均為實數(shù)）( ) ,f z a? ?所以場中任一點(diǎn)的流速為 ()v f z a???方向指向 x軸正向。 該場的流動情況如（圖 )所示，這種流體稱為均勻常流（實線表示流線，虛線表示勢線）。 yx?流線 等勢線 o 圖 () 例 2 設(shè)原點(diǎn)是強(qiáng)度 (在單位時間流出或漏去 的液量）為 N0源頭（或 N0的溝匯 )。而在無窮 遠(yuǎn)處流體保持靜止，并且在平面上沒有其他的源 頭和溝匯，顯然，流線是由原點(diǎn)發(fā)出的半射線， 等勢線是以原點(diǎn)為中心的圓周。速度的大小僅與 點(diǎn) z的模有關(guān)，方向與圓周 zr?的外法線的方 向一致，因而流速向量可表示為： 由于流體是不可壓縮的，流體在任一圓環(huán)域 ( ) .zv h zz?12r z r內(nèi)不能積蓄，所以流過圓周 1zr?與 2zr?的流量為 0 ( ) 2 . ( )z r z rN v n d s h z d s z h z???? ? ???0n（其中 是 zr? 的單位外法線向量， ds 是弧微分）所以： ( ) ,2Nhzz??而流量可表示為： 1. . ,22N z Nvz z z????顯然它符合“在無窮遠(yuǎn)處靜止?fàn)顟B(tài)”要求， 由此可求得復(fù)勢函數(shù) ()fz 的導(dǎo)數(shù)為 故所求復(fù)勢函數(shù)為： 1( ) ( ) . .2Nf z v zz?? ??( ) .2Nf z Ln z c???進(jìn)一步得到勢函數(shù)和流函數(shù)分別為： 12( , ) l n ,2( , )2Nx y z cNx y A rg z c???????? 該場的流體情況 (圖 )和 (圖 )所示 (實線表示流線，虛線表示勢線）。 例 3 設(shè)原點(diǎn)是一個漩渦點(diǎn)，其強(qiáng)度為 i??時間繞原點(diǎn)流動的液量為 ）， ?上
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