復變函數(shù)01-復數(shù)和復數(shù)的表示方法(編輯修改稿)
2024-11-15 14:46 本頁面
【文章內容簡介】 軸或 y軸。這種用來表示復數(shù)的平面叫做 復平面 。 ),( yx?xyxyoiyxz ?? 復數(shù) z=x+iy可以用復平面上的點 (x,y)表示。 2021年 11月 11日星期四 《 積分變換與復變函數(shù) 》 第 1講 23 復數(shù)的模 從復平面上的原點 o到點 z=x+iy所引的向量與復數(shù) z構成對應關系，復數(shù) z在復平面上也可以用向量 來表示，向量的長度稱為 z的 模 或 絕對值 ，記為： 22||z r x y? ? ?xyxyoiyxz ??roz 顯然下列各式成立： | | 0 , | | 0 0z z z? ? ? ?| | | | , | | | | , | | | |z x z y z z? ? ?| | | | | | ,z x y?? 2||z z z??2021年 11月 11日星期四 《 積分變換與復變函數(shù) 》 第 1講 24 平行四邊形法則 兩個復數(shù)的加減法運算與相應的向量的加減法運算一致，滿足 平行四邊形法則 和 三角形法則 ： xyo1z2z 21zz ?xyo1z2z21 zz ?2z?2021年 11月 11日星期四 《 積分變換與復變函數(shù) 》 第 1講 25 復數(shù)的輻角 在 z≠0的情況下，由實軸正向到向量 之間的夾角 稱為復數(shù) z的輻角，記為 。 oz? A r g z ?? 任何一個復數(shù) z≠0都有無窮多個輻角，假定 是其中一個輻角，則 z的全部輻角為： ?A r g 2 ,z k k??? ? ? Z 特別地，當 z=0時， |z|=0，此時輻角不確定。 2021年 11月 11日星期四 《 積分變換與復變函數(shù) 》 第 1講 26 輻角的主值 在復數(shù) z(≠0)的輻角中，把滿足 的輻角 稱為 Argz的主值，記為 。 ? ? ?? ? ?a r g z? ?思考： 輻角主值是否唯一？ 輻角怎么求？ ? 例： 求復數(shù) 的輻角和輻角主值 。 3zi?? 解： 1t a n36???? ? ? 因此，輻角主值為： 輻角為： a r g 6z ????A r g 2 ,6z k k? ?? ? ? Z2021年 11月 11日星期四 《 積分變換與復變函數(shù) 》 第 1講 27 復數(shù)的輻角 復數(shù) z≠0時輻角的主值： a r c t a n 00 , 0 ( 0 )2a r ga r c t a n 0 , 0 ( 0 )0 , 0yxxx y yzyx y yxxy???????? ? ? ??? ??? ? ? ??????a r c t a n22yx??? ? ? 其中 ： 2021年 11月 11日星期四 《 積分變換與復變函數(shù) 》 第 1講 28 共軛復數(shù)的模和輻角 一對共軛復數(shù) 和 在復平面上的位置關于實軸對稱，因此它們的模滿足： z 共軛復數(shù) 和 的輻角主值滿足什么關系？ (1). 若 z=0，則輻角無意義； (2). 若 z位于負實軸上，則： (3). 其它情況下，則有： xyoiyxz ???iyxz ???z| | | |zz?zza r g a r gzz ???a r g a r gzz??2021年 11月 11日星期四 《 積分變換與復變函數(shù) 》 第 1講 29 例：求 、 。 A r g ( 3 4 )i?? 解： A r g ( 3 4 )i??44a r g ( 3 4 ) a r c t a n a r c t a n33i ??? ? ? ? ? ??44a r g ( 3 4 ) a r c t a n a r c t a n33i ???? ? ? ? ? ? ??4A r g ( 3 4 ) (2 1 ) a r c t a n ,3i k k?? ? ? ? ? ? ? Z4A r g ( 3 4 ) (2 1 ) a r c t a n ,3i k k?? ? ? ? ? ? ? Z2021年 11月 11日星期四 《 積分變換與復變函數(shù) 》 第 1講 30 復數(shù)的三種表示方法 前面已經學過，復數(shù) z可以表示成： 利用直角坐標和極
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