函數(shù)的解析式與定義域(編輯修改稿)
2025-06-17 07:57 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ≥ 0 ，－ 3 ， x 0 . 當(dāng) 2 x － 1 ≥ 0 ，即 x ≥12時(shí)， g [ f ( x )] ＝ (2 x － 1)2； 當(dāng) 2 x － 1 0 ，即 x 12時(shí)， g [ f ( x )] ＝－ 1. ∴ g [ f ( x )] ＝????? ? 2 x － 1 ? 2 ， x ≥12，－ 1 ， x 12. ? [點(diǎn)評(píng) ] 求解分段函數(shù)的有關(guān)問題 ， 應(yīng)注意 “ 里 ”層函數(shù)的值域充當(dāng) “ 外 ” 層函數(shù)的定義域 ， 應(yīng)分段寫出函數(shù)的解析式 ． ? 分段函數(shù)是一個(gè)整體 ， 必須分段處理 ， 最后還要綜合寫成一個(gè)函數(shù)表達(dá)式 ． ? 探究： (1)已知 f(x－ 2)＝ 3x－ 5， 求 f(x)． ? (2)已知 f(1－ cosx)＝ sin2x， 求 f(x)． ? (3)已知 f(x)是二次函數(shù) ， 若 f(0)＝ 0， 且 f(x＋ 1)＝f(x)＋ x＋ 1， 試求 f(x)的表達(dá)式 ． ? 解析： (1)令 t＝ x－ 2， 則 x＝ t＋ 2， t∈ R ? 由已知有： f(t)＝ 3(t＋ 2)－ 5＝ 3t＋ 1 ? 故 f(x)＝ 3x＋ 1. ? (2)∵ f(1－ cosx)＝ sin2x＝ 1－ cos2x ? 令 1－ cosx＝ t 則 cosx＝ 1－ t ? ∵ － 1≤cosx≤1， ? ∴ 0≤1－ cosx≤2， ∴ 0≤t≤2 ? ∴ f(t)＝ 1－ (1－ t)2＝－ t2＋ 2t， (0≤t≤2) ? 故 f(x)＝－ x2＋ 2x， (0≤x≤2)． ( 3 ) 設(shè) f ( x ) ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ， 由 f ( 0 ) ＝ 0 知 c ＝ 0 ， f ( x ) ＝ ax2＋ bx . 又由 f ( x ＋ 1) ＝ f ( x ) ＋ x ＋ 1 ， 得 a ( x ＋ 1)2＋ b ( x ＋ 1) ＝ ax2＋ bx ＋ x ＋ 1 即 ax2＋ (2 a ＋ b ) x ＋ a ＋ b ＝ ax2＋ ( b ＋ 1) x ＋ 1 故有????? 2 a ＋ b ＝ b ＋ 1a ＋ b ＝ 1? a ＝ b ＝12. 因此， f ( x ) ＝12x2＋12x . ? [點(diǎn)評(píng) ] ① 已知 f[g(x)]是關(guān)于 x的函數(shù) ， 即 f[g(x)]＝ F(x)， 求 f(x)的解析式 ， 通常令 g(x)＝ t， 由此能解出 x＝ φ(t)；將 x＝ φ(t)代入 f[g(x)]＝ F(x)中 ，求得 f(t)的解析式；再用 x替換 t， 便得 f(x)的解析式 ． 注：換元后注意確定新元 t的取值范圍 ． ? ② 利用待定系數(shù)求解析式時(shí) ， 主要尋求恒等關(guān)系解出等式中的未知數(shù) ． 類型二 求函數(shù)的定義域 解題準(zhǔn)備： 1. 若 f ( x ) 是整式，則 f ( x ) 的定義域是 R . 2 ．若 f ( x ) 是分式，則要求分母不為零． 3 ．若2 nf ? x ? ( n ∈ N ) ，則要求 f ( x ) ≥ 0. 4 ．若 lo gaf ( x )( a 0 且 a
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