函數(shù)的解析式與定義域-wenkub
2023-05-23 07:57:19 本頁面
【正文】 ax2＋ bx＋ c(a≠0)， 其中 a、 b、 c是待定系數(shù) ，根據(jù)題設條件 ， 列出方程組 ， 求出 a、 b、 c的值即可 ． ? 3． 換元法求解析式 ， f[R(x)]＝ g(x)， 求 f(x)的問題 ， 往往可設 R(x)＝ t， 從中解出 x， 代入 g(x)進行換元來解 ． 4 ．解方程組法，已知 f ( x ) 滿足某個等式，這個等式除 f ( x ) 是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量，如 f ( － x ) 、 f??????1x等，必須根據(jù)已知等式再構造其他等式組成方程組，通過解方程組求出 f ( x ) ． ? [分析 ] 求復合函數(shù)的解析式一般用代入法，只需替換自變量 x的位置即可． 【典例 1 】 已知函數(shù) f ( x ) ＝ 2 x － 1 ， g ( x ) ＝????? x2 ， x ≥ 0 ，－ 1 ， x 0 .求 f [ g ( x )]和 g [ f ( x )] 的解析式． [ 解析 ] x ≥ 0 時， g ( x ) ＝ x2， f [ g ( x )] ＝ 2 x2－ 1 ； x 0 時， g ( x ) ＝－ 1 ， f [ g ( x )] ＝－ 2 － 1 ＝－ 3 ， ∴ f [ g ( x )] ＝????? 2 x2－ 1 ， x ≥ 0 ，－ 3 ， x 0 . 當 2 x － 1 ≥ 0 ，即 x ≥12時， g [ f ( x )] ＝ (2 x － 1)2； 當 2 x － 1 0 ，即 x 12時， g [ f ( x )] ＝－ 1. ∴ g [ f ( x )] ＝????? ? 2 x － 1 ? 2 ， x ≥12，－ 1 ， x 12. ? [點評 ] 求解分段函數(shù)的有關問題 ， 應注意 “ 里 ”層函數(shù)的值域充當 “ 外 ” 層函數(shù)的定義域 ， 應分段寫出函數(shù)的解析式 ． ? 分段函數(shù)是一個整體 ， 必須分段處理 ， 最后還要綜合寫成一個函數(shù)表達式 ． ? 探究： (1)已知 f(x－ 2)＝ 3x－ 5， 求 f(x)． ? (2)已知 f(1－ cosx)＝ sin2x， 求 f(x)． ? (3)已知 f(x)是二次函數(shù) ， 若 f(0)＝ 0， 且 f(x＋ 1)＝f(x)＋ x＋ 1， 試求 f(x)的表達式 ． ? 解析： (1)令 t＝ x－ 2， 則 x＝ t＋ 2， t∈ R ? 由已知有： f(t)＝ 3(t＋ 2)－ 5＝ 3t＋ 1 ? 故 f(x)＝ 3x＋ 1. ? (2)∵ f(1－ cosx)＝ sin2x＝ 1－ cos2x ? 令 1－ cosx＝ t 則 cosx＝ 1－ t ? ∵ － 1≤cosx≤1， ? ∴ 0≤1－ cosx≤2， ∴ 0≤t≤2 ? ∴ f(t)＝ 1－ (1－ t)2＝－ t2＋ 2t， (0≤t≤2) ? 故 f(x)＝－ x2＋ 2x， (0≤x≤2)． ( 3 ) 設 f ( x ) ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ， 由 f ( 0 ) ＝ 0 知 c ＝ 0 ， f ( x ) ＝ ax2＋ bx . 又由 f ( x ＋ 1)
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