學(xué)案2函數(shù)的定義域與值域(編輯修改稿)
2025-06-16 01:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 2時 ,取等號 . 綜上 ,所求函數(shù)的值域為 (∞,4］ ∪ ［ 4,+∞). x4xx4?x4( x )2 x4( x ) y???????????名師伴你行 解法二 :先證此函數(shù)的單調(diào)性 . 任取 x1,x2且 x1x2. ∵ f(x1)f(x2)=x1+ (x2+ ) = , ∴ 當(dāng) x1x2≤2或 2≤x1x2時 ,f(x)遞增 。 當(dāng) 2x0或 0x2時 ,f(x)遞減 . 故當(dāng) x=2時 ,f(x)極大 =f(2)=4。 當(dāng) x=2時 ,f(x)極小 =f(2)=4. ∴ 所求函數(shù)的值域為 (∞,4］ ∪ ［ 4,+∞). 返回目錄 1x42x4212121xx4)x) ( xx(x名師伴你行 (4)解法一 :利用函數(shù)的有界性 .將原函數(shù)化為sinx+ycosx=2y,即 令 cosφ= 且 sinφ= , ∴ sin(x+φ)= , 平方得 3y2≤1,∴ ≤y≤ . ∴ 原函數(shù)的值域為 . 返回目錄 2y,co s xy1yy11( s i ny1222 ?????2y11? 2y1y?1???? 22 y12yy12y3333???????33,33名師伴你行 解法二 :數(shù)形結(jié)合法或圖象法 . 原函數(shù)式可化為 y= , 此式可以看作點 (2,0)和 (cosx,sinx)連線的斜率 ,而點(cosx,sinx)的軌跡方程 為 x2+y2=1,如圖所示 , 在 坐標(biāo)系中作出圓 x2+y2=1 和點 (2,0). 返回目錄 c o sx2( s i n x )0c o sx2s i n x ?名師伴你行 返回目錄 由圖可看出 ,當(dāng)過 (2,0)的直線與圓相切時 ,斜率分別取得最大值和最小值 ,由直線與圓的位置關(guān)系 ,可設(shè)直線方程為 y=k(x2),即 kxy2k=0, ∴ 解得 k=177。 , ∴ 斜率的范圍是 . 即函數(shù) y= 的值域 1,k1 | 2 k| 2 ?? 33??????? 33,33?????? ?3333 ， co s x2s i n x名師伴你行 返回目錄 (5)函數(shù)的定義域為［ 1,1］ . 當(dāng) x∈ ［ 1,1］時 ,f′(x)= 由 f′(x)=0,得 x=0, 解得 x= ,x= (舍去 ),∴ f( )= , 又 f(1)=1,f(1)=1, ∴ f(x)max=f( )= ,f(x)min=f(1)=1. ∴ 值域為［ 1, ］ . .x1 xx1x11222??12x1222222 222 22名師伴你行 求函數(shù)值域 (或最值 )的常用方法 : (1)基本函數(shù)法 對于基本函數(shù)的值域可通過它的圖象性質(zhì)直接求解 . (2)配方法 對于形如 :y=ax2+bx+c(a≠0)或 F(x)=a［ f2(x)+bf(x)+c］(a≠0)類
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