【文章內(nèi)容簡介】 ， 則可得算術(shù)平均值的中誤差為 nLnLnLx n??????? 21故 該式即算術(shù)平均值的中誤差公式。 nmmnmnmnmnx22222222 111 ????????????? ?????? ??項nmmx ?二 、 算術(shù)平均值的中誤差公式 25 三 、 同精度觀測值的中誤差 同精度觀測值中誤差的計算公式為 而 這是利用觀測值真誤差求觀測值中誤差的定義公式 ，由于未知量的真值往往是不知道的 ， 真誤差也就不知道了 。 所以 ， 一般不能直接利用上式求觀測值的中誤差 。但是未知量的最或然值是可以求得的 ， 它和觀測值的差數(shù)也可以求得 ， 即 ? ?nm????? ?niXL ii ??????? ,2,1? ?niLxv ii ?????? ,2,126 因 n為有限值 ， 故在實用上可以用 x的中誤差近似地代替x的真誤差 ， 即 為用改正數(shù)來求觀測值中誤差的公式 ， 稱為白塞爾公式 。 用改正數(shù)計算最或然值中誤差的公式為 ? ?1??? nvvm? ?)1( ???nnvvm27 167。 54 誤差傳播定律 在實際工作中有許多未知量不能直接觀測而求其值 ，需要由觀測值間接計算出來 。 例如某未知點 B的高程HB， 是由起始點 A的高程 HA加上從 A點到 B點間進(jìn)行了若干站水準(zhǔn)測量而得來的觀測高差 h1…… hn求和得出的 。這時未知點 B的高程 H。 是各獨立觀測值的函數(shù) 。 那么如何根據(jù)觀測值的中誤差去求觀測值函數(shù)的中誤差呢 ？ 闡述觀測值中誤差與觀測值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律 ， 稱為誤差傳播定律 。 28 一 、 倍數(shù)的函數(shù) 設(shè)有函數(shù)： Z為觀測值的函數(shù) ， K為常數(shù) ， X為觀測值 ， 已知其中誤差為 mx， 求 Z的中誤差 mZ。 設(shè) x和 z的真誤差分別為 △ x和 △ z則： 若對 x 共觀測了 n次 ， 則： 將上式平方 ， 得： 求和 ， 并除以 n， 得 kxz ?xz k???)2,1( nik xizi ??????????)2,1(222 nik xizi ??????????? ? ? ?nknxz222 ???29 即 ， 觀測值與常數(shù)乘積的中誤差 ， 等于觀測值中誤差乘常數(shù) 。 ? ?? ?nmnmxxzz22????xzxzkmmmkm?? 222? ?? ?nmnmxxzz22????因為： 所以： 30 例： 在 1： 500比例尺地形圖上 ， 量得 A、 B兩點間的距離 SAB=， 其中誤差 msab=土 ， 求 A、B間的實地距離 SAB及其中誤差 msAB。 解：由題意： SAB=500 Sab=500 =11700mm= mSAB＝ 500 mSab＝ 500 （ 士 ） =土 100mm＝土 最后答案為： SAB= 31 二 、 和或差的函數(shù) 設(shè)有函數(shù)： Z為 x、 y的和或差的函數(shù) ， x、 y為獨立觀測值 ， 已知其中誤差為 mx、 my， 求 Z的中誤差 mZ。 設(shè) x、 y和 z的真誤差分別為 △ x、 △ y和 △ z則 若對 x、 y 均觀測了 n次 ， 則 將上式平方 ， 得 yxz ??yxz ?????)2,1( niyixizi ????????????)2,1(2222 niyiixyixizi ???????????????32 由于 Δx、 Δy均為偶然誤差 ， 其符號為正或負(fù)的機會相同 ， 因為 Δx、 Δy為獨立誤差 ， 它們出現(xiàn)的正 、 負(fù)號互不相關(guān) ， 所以其乘積 ΔxΔy也具有正負(fù)機會相同的性質(zhì) ， 在求 ［ ΔxΔy］ 時其正值與負(fù)值有互相抵消的可能；當(dāng) n愈大時 ， 上式中最后一項 ［ ΔxΔy］ /n將趨近于零 ，即 求和 ， 并除以 n， 得 ? ? ? ? ? ? ? ?nnnnyxyxz ???????? 2222? ?0l i m????? nnyx33 將滿足上式的誤差 Δx、 Δy稱為互相獨立的誤差 ，簡稱獨立誤差 ， 相應(yīng)的觀測值稱為獨立觀測值 。 對于獨立觀測值來說 ， 即使 n是有限量 ， 由于 式殘存的值不大 ， 一般就忽視它的影響 。 根據(jù)中誤差定義 ， 得 222yxz mmm ?? 即 ， 兩觀測值代數(shù)和的中誤差平方 ，等于兩觀測值中誤差的平方之和 。 ? ? 0l i m ????? nnyx34 當(dāng) z是一組觀測值 X X2… Xn代數(shù)和 （ 差 ） 的函數(shù)時 ， 即 nxxxz ?????? 21可以得出函數(shù) Z的中誤差平方為： 式中 mxi是觀測值 xi的中誤差。 即， n個觀測值代數(shù)和（差）的中誤差平方，等于n個觀測值中誤差平方之和 。 222221 xnxxz mmmm ???????35 當(dāng)諸觀測值 xi為同精度觀測值時 ， 設(shè)其中誤差為 m，即 mx1=mx2=mxn=m則為 這就是說 ， 在同精度觀測時 ， 觀測值代數(shù)和 （ 差 ） 的中誤差 ， 與觀測值個數(shù) n的平方根成正比 。 例設(shè)用長為 L的卷尺量距 ， 共丈量了 n個尺段 ， 已知每尺段量距的中誤差都為 m， 求全長 S的中誤差 ms。 解：因為全長 S=L＋ L＋ …… ＋ L（ 式中共有 n個 L） 。而 L的中誤差為 m。 量距的中誤差與丈量段數(shù) n的平方根成正比 。 nmm z ?nmm S ?36 例如以 30m長的鋼尺丈量 90m的距離 ， 當(dāng)每尺段量距的中誤差為 177。 5mm時 ， 全長的中誤差為 nmm S ?mmm ????37 當(dāng)使用量距的鋼尺長度相等 ， 每尺段的量距中誤差都為 mL， 則每公里長度的量距中誤差 mKm也是相等的 。 當(dāng)對長度為 S公里的距離丈量時 ， 全長的真誤差將是 S個一公里丈量真誤差的代數(shù)和 ， 于是 S公里的中誤差為 式中 ， S的單位是公里 。 即： 在距離丈量中 ， 距離 S的量距中誤差與長度 S的平方根成正比 。 kms msm ??38 例 : 為了求得 A、 B兩水準(zhǔn)點間的高差 ， 今自 A點開始進(jìn)行水準(zhǔn)測量 ， 經(jīng) n站后測完 。 已知每站高差的中誤差均為 m站 ， 求 A、 B兩點間高差的中誤差 。 解：因為 A、 B兩點間高差 hAB等于各站的觀測高差 hi（ i=l， 2… n） 之和 ， 即 : hAB=HBHA=h1+h2+… ..+hn 則 即 水準(zhǔn)測量高差的中誤差 ， 與測站數(shù) n的平方根成正比 。 站mnm ABh ??39 在不同的水準(zhǔn)路線上 ， 即使兩點間的路線長度相同 ， 設(shè)站數(shù)不同時 ， 則兩點間高差的中誤差也不同 。但是 ， 當(dāng)水準(zhǔn)路線通過平坦地區(qū)時 ， 每公里的水準(zhǔn)測量高差的中誤差可以認(rèn)為相同 ， 設(shè)為 mkm。 當(dāng) A、 B兩點間的水準(zhǔn)路線為 S公里時 ， A、 B點間高差的中誤差為 即，水準(zhǔn)測量高差的中誤差與距離 S的平方根成正比。 22222kmSkmkmkmh mSmmmm AB ????????? ??? ???? ??個或 kmh msm AB ?40 在水準(zhǔn)測量作業(yè)時 ， 對于地形起伏不大的地區(qū)或平坦地區(qū) ， 可用 式計算高差的中誤差；