小波分析的基本理論(編輯修改稿)
2025-06-15 03:57 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ? 只要適當(dāng)?shù)剡x擇窗口函數(shù)，就可以通過信號(hào)的加窗Fourier變換獲得在 2 時(shí)間區(qū)域內(nèi)的信息；另一方面，一旦窗口函數(shù)取定，其窗口大小也隨之確定，其時(shí) 頻窗的大小和形狀都就一定了，時(shí)間、頻率分辨率也隨之確定。 ? Heisenburg 測(cè)不準(zhǔn)定理告訴我們，無論是什么樣的窗函數(shù)，時(shí)窗的寬度與頻窗的寬度之積不小于 。因此當(dāng)選定一窗函數(shù)，其頻寬對(duì)應(yīng)于某一頻段。當(dāng)窗滑動(dòng)時(shí)，同樣大小的 時(shí)頻窗同時(shí)用于 高頻和低頻信號(hào)。這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足 非平穩(wěn)信號(hào)分析或突變信號(hào)處理的 要求。 g??21連續(xù)（積分）小波變換 ? 在一般信號(hào)中，總是包含各種不同的頻率成分。由于頻率與每單位時(shí)間的周期數(shù)成正比，更好的分析手段是在頻率高時(shí)，選一個(gè)窄時(shí)間窗提高時(shí)間分辨率，以分辨信號(hào)的高頻細(xì)節(jié)；而選一個(gè)寬的時(shí)間窗更充分地分析信號(hào)的低頻特性。顯然， STFT不適合分析同時(shí)具有很高頻和很低頻成分的信號(hào)。為滿足一般信號(hào)的時(shí)頻分析要求，有必要尋找一種可調(diào)時(shí)頻窗的分析方法。小波變換正具有這種特性。 連續(xù)（積分）小波變換 ? 是小波 : ? 對(duì)函數(shù)伸縮及平移后可得： ? 函數(shù)在尺度 a、位置 b的小波變換定義為如下內(nèi)積 ? dtabttfaabfW ??????? )(*)(21||),)(( ??? ? 0?????? dtt??????? ?? a btaab ?? 1,?0,),()( 2 ??? aRbaRLtf? 積分小波變換提供的時(shí)間窗和頻率窗分別為： ? 該時(shí)頻窗的特點(diǎn)：由于時(shí)間窗寬度為 2 ，因此，若以 ω/a作為頻率變量，當(dāng)檢測(cè)高頻現(xiàn)象時(shí)（小的 a），時(shí)間窗會(huì)自動(dòng)變窄，提供分辨率高的時(shí)間信息；對(duì)于低頻信息（大的 a） ,時(shí)間窗會(huì)自動(dòng)變寬。在 IWT中與頻率有關(guān)的因子 a在小波分析中稱為尺度因子。 ? 小波變換具有時(shí)頻局部化特性，究其原因是基函數(shù) 的支撐與 a有關(guān)。當(dāng) a小時(shí)（高頻），支撐集??； 反之 ，支撐集大。而 STFT的所有基函數(shù) 具有與原始窗函數(shù)相同的支撐寬度。就是因?yàn)榛瘮?shù)的這些特點(diǎn)決定了 STFT和 IWT各自的分析能力。其中基函數(shù)支撐集的大小決定了其時(shí)間分辨率的大小。 ]?*?*[,],[ aaaaabatabat ?????? ???????????? ，??a)},({ ba?? ?)( btge tj ?? 圖 小波 和 的時(shí) 頻盒。當(dāng)尺度減小時(shí)，時(shí)間支撐減小然而頻率支集增加。 su,? 00,su?小波級(jí)數(shù)與小波變換 ? 法國地理學(xué)家 Morlet和數(shù)學(xué)家 Grossmann證明了 L2空間中的任意函數(shù)都可以由它按一組稱為小波函數(shù)的分解來表征。下式 f 的級(jí)數(shù)表示稱為小波級(jí)數(shù)。 ? 定義 (DWT) ? 因此， f 的第（ j , k )個(gè)小波系數(shù)由 f 的積分小波變換在具有二進(jìn)膨脹 ??? Zkj kjzj tctf , , )()( ?)2 1,2)((~, ~, jjkjkj kfWfc ?? ????的離散小波變換關(guān)于為 kjkj ff , ?? ??。kba jj 計(jì)算給出的二進(jìn)位置 2/2 ?? ??在小波分析發(fā)展初期 ， 如何構(gòu)造空間 L2（ Rn） 的 一組小波基是一件相當(dāng)困難的事情 (構(gòu)造函數(shù) )。 直到八十年代后期 ，人們 才發(fā)現(xiàn)了小波構(gòu)造的一種統(tǒng)一的定式 ,并且從 理論上已經(jīng)證明 ， 幾乎所有 “ 有用 ” （ 具有適當(dāng)光滑性 ） 的小波基都可從 這種定式 構(gòu)造出來 這就是多尺度分析 (MRA ,又稱多分辨率分析 )。 與此同時(shí) ， 多尺度分析的數(shù)學(xué)與物理意義 ， 已遠(yuǎn)不只是一種小波構(gòu)造的 “ 輔助
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