【文章內容簡介】 出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件 (已知條件、定理、定義、公理等 )為止．這種證明方法叫做分析法． ② 框圖表示： Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →?→ 得到一個明顯成立的條件 . 2． 間接證明 一般地，由證明 p? q 轉向證明： 綈 q? r? ? ? t. t 與假設矛盾，或與某個真命題矛盾．從而判定 綈 q 為假，推出 q 為真的方法，叫做反證法． 一個關系 綜合法與分析法的關系 分析法與綜合法相輔相成，對較復雜的問題，常常先從結論進行分析，尋求結論與條件、基礎知識之間的關系，找到解決問題的思路，再運用綜合法證明，或者在證明時將兩種方法交叉使用． 兩個防范 (1)利用反證法證明數(shù)學問題時，要假設結論錯誤，并用假設命題進行推理，沒有用假設命 題推理而推出矛盾結果，其推理過程是錯誤的． (2)用分析法證明數(shù)學問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用 “ 要證 (欲證 )?”“ 即要證 ?”“ 就要證 ?” 等分析到一個明顯成立的結論 P，再說明所要證明的數(shù)學問題成立． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習題改編 )p＝ ab＋ cd， q＝ ma＋ nc bm＋ dn(m、 n、 a、 b、c、 d 均為正數(shù) )，則 p、 q 的大小為 ( )． A． p≥ q B． p≤ q C． p＞ q D．不確定 解析 q＝ ab＋ madn ＋ nbcm ＋ cd≥ ab＋ 2 abcd＋ cd ＝ ab＋ cd＝ p，當且僅當 madn ＝ abcm 時取等號． 答案 B 2．設 a＝ lg 2＋ lg 5， b＝ ex(x＜ 0)，則 a 與 b 大小關系為 ( )． A． a＞ b B． a＜ b C． a＝ b D． a≤ b 解析 a＝ lg 2＋ lg 5＝ 1， b＝ ex，當 x＜ 0時， 0＜ b＜ 1. ∴ a＞ b. 答案 A 3．否定 “ 自然數(shù) a， b， c 中恰有一個偶數(shù) ” 時，正確的反設為 ( )． A． a， b， c 都是奇數(shù) B． a， b， c 都是偶數(shù) C． a， b， c 中至少有兩個偶數(shù) D． a， b， c 中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù) 解析 ∵ a， b， c恰有一個偶數(shù)，即 a， b， c中只有一個偶數(shù)，其反面是有兩個或兩個以上偶數(shù)或沒有一個偶數(shù)即全都是奇數(shù)，故只有 D正確． 答案 D 4． (2020廣州調研 )設 a、 b∈ R，若 a－ |b|＞ 0，則下列不等式中正確的是 ( )． A． b－ a＞ 0 B． a3＋ b3＜ 0 C． a2－ b2＜ 0 D． b＋ a＞ 0 解析 ∵ a－ |b|＞ 0， ∴ |b|＜ a， ∴ a＞ 0， ∴ － a＜ b＜ a， ∴ b＋ a＞ 0. 答案 D 5．在用反證法證明數(shù)學命題時，如果原命題的否定事項不止一個時，必須將結論的否定情況逐一駁倒，才能肯定原命題的正確． 例如：在 △ ABC 中，若 AB＝ AC， P 是 △ ABC 內一點， ∠ APB＞ ∠ APC，求證：∠ BAP＜ ∠ CAP，用反證法證明時應分：假設 ________和 ________兩類． 答案 ∠ BAP＝ ∠ CAP ∠ BAP＞ ∠ CAP 考向一 綜合法的應用 【例 1】 ?設 a， b， c＞ 0，證明： a2b＋b2c＋c2a≥ a＋ b＋ c. [審題視點 ] 用綜合法證明，可考慮運用基本不等式． 證明 ∵ a， b， c＞ 0，根據(jù)均值不等式， 有 a2b＋ b≥ 2a，b2c＋ c≥ 2b，c2a＋ a≥ 2c. 三式相加： a2b＋b2c＋c2a＋ a＋ b＋ c≥ 2(a＋ b＋ c)． 當且僅當 a＝ b＝ c 時取等號． 即 a2b＋b2c＋c2a≥ a＋ b＋ c. 綜合法是一種由因導果的證明方法，即由已知條件出發(fā)，推導出所要證明的等式或不等式成立．因此，綜合法又叫做順推證法或由因導果法．其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法，這就要保證前提正確，推理合乎規(guī)律，才能保證結論的正確性． 【訓練 1】 設 a， b 為互不相等的正數(shù)，且 a＋ b＝ 1，證明： 1a＋ 1b＞ 4. 證明 1a＋ 1b＝ ??? ???1a＋ 1b ( a＋ b)＝ 2＋ ba＋ ab≥ 2＋ 2＝ 4. 又 a 與 b 不相等．故 1a＋ 1b＞ 4. 考向二 分析法的應用 【例 2】 ?已知 m＞ 0， a， b∈ R，求證： ??? ???a＋ mb1＋ m 2≤ a2＋ mb21＋ m . [審題視點 ] 先去分母，合并同類項，化成積式． 證明 ∵ m＞ 0， ∴ 1＋ m＞ 0. 所以要證原不等式成立， 只需證明 (a＋ mb)2≤ (1＋ m)(a2＋ mb2)， 即證 m(a2－ 2ab＋ b2)≥ 0， 即證 (a－ b)2≥ 0，而 (a－ b)2≥ 0 顯然成立， 故原不等式得證． 逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件，正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵． 【訓練 2】 已知 a， b， m 都是正數(shù)，且 a＜ b. 求證： a＋ mb＋ m＞ ab. 證明 要證明 a＋ mb＋ m＞ ab，由于 a， b， m 都是正數(shù)， 只需證 a(b＋ m)＜ b(a＋ m)， 只需證 am＜ bm， 由于 m＞ 0，所以，只需證 a＜ b. 已知 a＜ b，所以原不等式成立． (說明：本題還可用作差比較法、綜合法、反證法 ) 考向三 反證法的應用 【例 3】 ?已知函數(shù) f(x)＝ ax＋ x－ 2x＋ 1(a＞ 1)． (1)證明：函數(shù) f(x)在 (－ 1，＋ ∞ )上為增函數(shù)． (2)用反證法證明 f(x)＝ 0 沒有負根． [審題視點 ] 第 (1)問用單調增函數(shù)的定義證明；第 (2)問假設存在 x0＜ 0 后，應推導出 x0的范圍與 x0＜ 0矛盾即可． 證明 (1)法一 任取 x1， x2∈ (－ 1，＋ ∞ )，不妨設 x1＜ x2，則 x2－ x1＞ 0， ax2－x1＞ 1，且 ax1＞ 0. 所以 ax2－ ax1＝ ax1(ax2－ x1－ 1)＞ x1＋ 1＞ 0， x2＋ 1＞ 0，所以 x2－ 2x2＋ 1－ x1－ 2x1＋ 1＝ ?x2－ 2??x1＋ 1?－ ?x1－ 2??x2＋ 1??x2＋ 1??x1＋ 1?＝ 3?x2－ x1??x2＋ 1??x1＋ 1?＞ 0， 于是 f(x2)－ f(x1)＝ ax2－ ax1＋ x2－ 2x2＋ 1－ x1－ 2x1＋ 1＞ 0， 故函數(shù) f(x)在 (－ 1，＋ ∞ )上為增函數(shù)． 法二 f′ (x)＝ axln a＋ 3?x＋ 1?2＞ 0， ∴ f(x)在 (－ 1，＋ ∞ )上為增函數(shù)． (2)假設存在 x0＜ 0(x0≠ － 1)滿足 f(x0)＝ 0，則 ax0＝－ x0－ 2x0＋ 1，又 0＜ ax0＜ 1，所以0＜－ x0－ 2x0＋ 1＜ 1，即 12＜ x0＜ 2，與 x0＜ 0(x0≠ － 1)假設矛盾．故 f(x0)＝ 0 沒有負根． 當一個命題的結論是以 “ 至多 ” ， “ 至少 ” 、 “ 唯一 ” 或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證，反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是： ① 與已知條件矛盾； ② 與假設矛盾； ③ 與定義、公理、定理矛盾； ④ 與事實矛盾等方面，反證法常常是解決某些 “ 疑難 ” 問題的有力工具，是數(shù)學證明中的一件有力武器． 【訓練 3】 已知 a， b 為非零向量，且 a， b 不平行，求證：向量 a＋ b 與 a－ b不平行． 證明 假設向量 a＋ b與 a－ b平行， 即存在實數(shù) λ 使 a＋ b＝ λ(a－ b)成立， 則 (1－ λ)a＋ (1＋ λ)b＝ 0， ∵ a， b 不平行， ∴ ??? 1－ λ＝ 0，1＋ λ＝ 0， 得 ??? λ＝ 1，λ＝－ 1， 所以方程組無解，故假設不成立，故原命題成立． 規(guī)范解答 24—— 怎樣用反證法證明問題 【問題研究】 反證法是主要的間接證明方法，其基本特點是反設結論，導出矛盾，當問題從正面證明無法入手時，就可以考慮使用反證法進行證明 .在高考中，對反證法的考查往往是在試題中某個重要的步驟進行 . 【解決方案】 首先反設，且反設必須恰當，然后再推理、得出矛盾，最后肯定 . 【 示例 】 ?(本題滿分 12 分 )(2020安徽 )設直線 l1： y＝ k1x＋ 1， l2： y＝ k2x－ 1，其中實數(shù) k1， k2滿足 k1k2＋ 2＝ 0. (1)證明 l1與 l2相交； (2)證明 l1與 l2的交點在橢圓 2x2＋ y2＝ 1 上． 第 (1)問采用反證法，第 (2)問解 l1與 l2的交點坐標，代入橢圓方程驗證． [解答示范 ] 證明 (1)假設 l1與 l2不相交， 則 l1與 l2平行或重合，有 k1＝ k2， (2分 ) 代入 k1k2＋ 2＝ 0，得 k21＋ 2＝ 0.(4分 ) 這與 k1為實數(shù)的事實相矛盾，從而 k1≠ k2，即 l1與 l2相交． (6分 ) (2)由方程組 ??? y＝ k1x＋ 1，y＝ k2x－ 1， 解得交點 P 的坐標 (x， y)為????? x＝ 2k2－ k1，y＝ k2＋ k1k2－ k1.(9分 ) 從而 2x2＋ y2＝ 2??? ???2k2－ k12＋??????k2＋ k1k2－ k12 ＝ 8＋ k22＋ k21＋ 2k1k2k22＋ k21－ 2k1k2 ＝k21＋ k22＋ 4k21＋ k22＋ 4＝ 1， 此即表明交點 P(x， y)在橢圓 2x2＋ y2＝ 1 上． (12分 ) 用反證法證明不等式要把握三點： (1)必須先否定結論，即肯定結論的反面； (2)必須從否定結論進行推理， 即應把結論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進行推證； (3)推導出的矛盾可能 多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與已知事實矛盾等，但是推導出的矛盾必須是明顯的． 【試一試】 已知數(shù)列 {an}的前 n 項和為 Sn，且滿足 an＋ Sn＝ 2. (1)求數(shù)列 {an}的通項公式； (2)求證數(shù)列 {an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列． [嘗試解答 ] (1)當 n＝ 1 時， a1＋ S1＝ 2a1＝ 2，則 a1＝ 1. 又 an＋ Sn＝ 2，所以 an＋ 1＋ Sn＋ 1＝ 2，兩式相減得 an＋ 1＝ 12an， 所以 {an}是首項為 1，公比為 12的等比數(shù)列，所以 an＝ 12n－ 1. (2)反證法：假設存在三項按原來順序成等差數(shù)列，記為 ap＋ 1， aq＋ 1， ar＋ 1(p＜ q＜r，且 p， q， r∈ N*)， 則 212q＝ 12p＋ 12r，所以 22r－ q＝ 2r－ p＋ 1.① 又因為 p＜ q＜ r，所以 r－ q， r－ p∈ N*. 所以 ① 式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立，所以假設不成立，原命題得證． 第 4 講 數(shù)學歸納法 【高考會這樣考】 1．數(shù)學歸納法的原理及其步驟． 2．能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題 ． 【復習指導】 復習時要抓住數(shù)學歸納法證明命題的原理，明晰其內在的聯(lián)系，把握數(shù)學歸納法證明命題的一般步驟，熟知每一步之間的區(qū)別聯(lián)系，熟悉數(shù)學歸納法在證明命題中的應用技巧． 基礎梳理 1．歸納法 由一系列有限的特殊事例得出 一般結論 的推理方法，通常叫做歸納法．根據(jù)推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為 完全 歸納法和 不完全 歸納法． 2． 數(shù)學歸納法 (1)數(shù)學歸納法：設 {Pn}是一個與正整數(shù)相關的命題集合，如果： ① 證明起始命題P1(或 P0)成立 ； ② 在假設 Pk 成立的前提下，推出 Pk＋ 1也成立，那么可以斷定 {Pn}對一切正整數(shù)成立． (2)用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的命題時，其步驟為： ① 歸納奠基：證明當取第一個自然數(shù) n0時命題成立； ② 歸納遞推：假設 n＝ k， (k∈ N*， k≥ n0)時，命題成立，證明當 n＝ k＋ 1 時，命題成立； ③ 由 ①② 得出結論． 兩個防范 數(shù)學歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關的命題的證明方法，第一步是遞推的“ 基礎 ” ，第二步是遞推的 “ 依據(jù) ” ，兩個步驟缺一不可，在證明過 程中要防范以下兩點： (1)第一步驗證 n＝ n0時， n0不一定為 1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值． (2)第二步中，歸納假設起著 “ 已知條件 ” 的作用，在證明 n＝ k＋ 1 時，命題也成立的過程中一定要用到它，否則就不是數(shù)學歸納法．第二步關鍵是 “ 一湊假設，二湊結論 ” ． 三個注意 運用數(shù)學歸納法應注意以下三點：