四元數(shù)矩陣方程drazin逆的行列式表示(編輯修改稿)
2024-10-08 19:17 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。 去掉第 i 行和第 j 列，我們就可以得到矩陣 的 s1 的 主子式，把它記作 . 設(shè) , 且 . 這種情況 下，矩陣 M 的所有右列向量都是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。它們相加得到的一維列向量 ,也是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。因此，它們是矩陣 的基向量，第 i列向量是它的基向量的線(xiàn)性組合。根據(jù)理論 得出，當(dāng)滿(mǎn)足 和 的條件時(shí) ，. 如果讓 , 且 .，在矩陣 M 和 中有 p 個(gè)基向量 。 然后根據(jù)理論 和 ，我們同樣可以得出 .的結(jié)論。 因此對(duì)于所有的情況 ，當(dāng)滿(mǎn)足 和 的條件下 ， 我們都能夠得出.即如果 ， 則 而且當(dāng) 時(shí)， 因此，當(dāng) 時(shí) ， 通過(guò)計(jì)算矩陣（ 14）的余子式的值，我們可以得到： 因此， ， . 于是我們就可以計(jì)算出矩陣的行列式表示 。 推論 如果 , 為 Hermitian 矩陣 ， 則群逆 中的各項(xiàng)行列表示如下 ： . 證明 .根據(jù)理論 ，當(dāng) 時(shí)，則可以得出該等式。 推論 , 為任意矩陣 ， 則 證明 .假設(shè) ,對(duì)于任意 我們可以得到 同樣的，我們也可以得到矩陣 Drazin 逆。 對(duì)于任意矩陣的 Drazin 逆的行列式表示 對(duì)于任意矩陣 這里我們不能采用之前對(duì)應(yīng)于 Hermitian 矩陣的方法。因?yàn)槲覀儧](méi)有對(duì)于任意矩陣的特征值的理論。所以在以下的理論中，我們采用了 MoorePenrose 廣義逆的行列式表示方法進(jìn)而探討矩陣的Drazin 逆 。 命題 ,則 . 理論 ,則矩陣 的 MoorePenrose 的逆 中各項(xiàng)行列的可以表示為 ： 其中 . 從而得出矩陣 Drazin 逆的表示為 ： 其中 我們用 表示 的第 s 列 ， 可以得出 ,且 矩陣 的 Drazin 逆 的各項(xiàng)行列可以表示為 ： 我們用 我們用 表示 的第 t 行 ， 可以得出,且 矩陣 的 Drazin 逆 的各項(xiàng)行列可以表示為 理論 , 則 Drazin 逆 的行列式表示為 上述形式 矩陣方程 Drazin 逆的求解 求逆矩陣時(shí) ， 最經(jīng)典的 方法之一便是運(yùn)用克萊默法則求出行列式的值，然后求出逆矩陣。這里，針對(duì)求 Drazin 逆，我們提出了類(lèi)似于克萊默法則的一些求解方法。 矩陣方程 ， 其中 是已知的 ， 求未知矩陣.假定 易 知 （參見(jiàn)例 [19]）等式 (22)滿(mǎn)足條件： 存在唯一解， . 矩陣的 Drazin 逆 記作 理論 都是 Hermitian 矩陣，且對(duì)于 ， 有,對(duì)于 ， 有 ,所以對(duì)于 Drazin 逆的解 我們可以得出 其中 分別表示其列向量和行向量 ，對(duì)于 , 和 分別表示矩陣 的第 i 行和第 j 列的向量。 證明 .對(duì)于 Drazin 逆的解 ， 易知 對(duì)于所有的 ， 根據(jù)理論 我們用 記作 ,其中 從而得出 即 假定 和 分別代表單位行向量和單位列向量，即除了第 s 項(xiàng)為 1 之外各項(xiàng)都為 0。 我們得到 ： 因此 對(duì)于 ,列向量 的第 t 項(xiàng)為 ， 將其代入 上述 式子 得： 因此 如果我們用 表示列向量 第 項(xiàng)的值 ,則 將其代入式 (31),我們得到 ： 因此 考慮到矩陣方程 ,其中 都是已知的 ， 求未知矩陣 .設(shè) ,我們記 ,即令 ， 我們便得出以下結(jié)論 。 推論 . 對(duì)于 ， 如果 ,那么根據(jù)式 (33),Drazin 逆的解 為： 其中 為 的第 j 列向量， 考慮矩陣方程 ,其中 都是已知的 ， 求未知矩陣 .設(shè),我們記 ,即令 ， 我們便得出以下結(jié)論 。 推論 . 對(duì)于 ， 如果 ,那么根據(jù)式 (35),Drazin逆的解 為： 其中 為 的第 i 行 向量， . 任意矩陣的 Drazin 逆 利用理論 ，推論 和 ， 對(duì)于任意矩陣 ， 存在矩陣 使我們能夠得出以下結(jié)論 。 記 理論 . 存在矩陣 ， 有 ,存在矩陣 ，有 ,所以對(duì)于 Drazin逆的解我們可以得出 其中對(duì)于所有的 有： 分別代表其列向量和行向量。，對(duì)于 , 和 分別表示矩陣 的第 i 行和第 j 列的向量。 推論 ， 如果 ,那么根據(jù)式 (33),Drazin 逆的解 為： 其中 為 的第 j 列向量， 推論 . 對(duì)于 ， 如果 ,那么根據(jù)式 (35),Drazin逆的解 為： 其中 為 的第 i 行 向量， . 在本章 ， 我們給出驗(yàn)證以上理論的結(jié)果 。 1. 考慮矩陣方 程 ,其中 因此可以得出 ,且
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