數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-德薩格定理及其應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-10-08 11:41 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，所以二直線 ,BCBC??相交。交點(diǎn)既在 ?內(nèi)也在 ??內(nèi)。因此點(diǎn) X 存在且在 ?與?的交 線上。 同理， CA與 ??， AB與 也都相交且交點(diǎn)在 ?與?的交線上 因此三點(diǎn) X， Y， Z 在一直線上。 情況（ ii） ABC與 ABC? ? ?位于同一平面 ?內(nèi)（圖 3）。通過 O 做不在 ?內(nèi)的直 線P，在 P 上任意取兩點(diǎn) ,LL?。由直線 ,ALAL??位于直線 P 與 AA?所決定的平面內(nèi)，所以直 線 AL與 ??相交，交點(diǎn)記以 A??。 同理，直線 BL與 相交，交點(diǎn)記以 B??。直線 CL與 ??相交，交點(diǎn)記以 C??。 三點(diǎn) ,A B C? ? ?所決定的平面與 ?不同（例如 A??不再 ?內(nèi)）。考慮三點(diǎn)形 LBC與LBC? ? ?，二者不在同一平面內(nèi)。由于 ,LL BB CC? ? ?交于同一點(diǎn) O，所以根據(jù)情況（ i）知 BC與 ??， CL與 ??， BL與 ??交于同一直線上的點(diǎn)，即 X， C??， B??，在新疆師范大 學(xué) 2020屆 畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 6 一直線上。因此 X 在平面 ABC? ? ?內(nèi)。但 X 也在平面 ?內(nèi)，這說明 X 在兩不同平面 ?與 ABC? ? ?的交 線上。 同理， Y， Z 也在平面 ?與 ABC? ? ?的絞線上，所以三點(diǎn) X， Y， Z 在一直線上。 定理 (德薩格定理 逆定理 )如果兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在 一 直線上 ,則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)． 3．德薩格定理在初等幾何中的應(yīng)用 應(yīng)用徳薩格定理證明共點(diǎn)問題 例 1 試證三角形三條中線共點(diǎn)？ 證明如圖設(shè)三角形 ABC 三條中線 AD,BE,CF （圖 4） 考察三點(diǎn)形 ABC 和 DEF，由于 BC∥ EF， CA∥ FD， AB∥ DE，即三點(diǎn)形 ABC 和 DEF的對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)均為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)從而都在無(wú)窮遠(yuǎn)直線上，故根據(jù)徳薩格定理的逆定理知它們對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線 AD， BE， CF 交于一點(diǎn)，即三角形 ABC 的三條中線共點(diǎn)。同時(shí)，此題是中學(xué)幾何中 有關(guān)三角形重心的問題，用初等幾何方法不夠直觀，也較繁雜，但用上述方法卻很簡(jiǎn)便。 例 2 直線 AB 與 CD 交于 U， AC 與 BD 交于 V； U， V 分別交 AD， BC 于 F， G；BF 交 AC 于 L。求證： LG， CF， AU 交于一點(diǎn)。 證明如以下圖 6 在三角形 AFL 與三角形 UCG 中對(duì)應(yīng)邊 FL 與 CG， LA 與 UG，AF 與 UC 分別交于共線的三點(diǎn) B， V， D。根據(jù)徳薩格定理的逆定理知 AU， FC， LG交于點(diǎn) O（如圖三線形 AFL 與三角形 UCG 對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線 LG， FC， AU 共點(diǎn) O 新疆師范大 學(xué) 2020屆 畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 7 （圖 5） 例 3 證明三角形的 垂心 ,重心 ,外心三點(diǎn)在一條直線上． 證明 已知三角形 ABC,依據(jù)幾何作圖作出其垂心 R,重心 S
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