【文章內(nèi)容簡介】 義卻很深刻，只有對它的意思徹底了解，才能引申出在不同場合下的用法，在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，許多知識點都會用到帶余除法，掌握了帶余除法，就多了種解決問題的方法，也是多了條通往成功的途徑。 第二章 整數(shù)的帶余除法 整除是初等數(shù)論這一科目的基礎(chǔ)概念，而帶余數(shù)除法是所有除法的一般形式，所以深度了解這種理論的該念、性質(zhì)和應(yīng)用是十分必要的。接 下來 我會 通過整數(shù)的帶余除法來淺談帶余除法在數(shù)論這一科目的重要性， 使我們能掌握 帶余除法的精華 ，有助于以后的解題。 整數(shù)帶余除法的解釋 及證明 對任意整數(shù) a， b 且 b≠0，存在唯一的數(shù)對 q， r，使 a=bq+r，其中 0≤r|b|。這個事實稱為帶余除法定理，是整除理論的基礎(chǔ)。若 c|a， c|b，則稱 c 是 a， b 的公因數(shù)。若 d 是 a， b 的公因數(shù)， d≥0，且 d 可被 a， b 的任意 公因數(shù)整除，則稱 d是 a， b 的最大公因數(shù)。若 a， b 的最大公因數(shù)等于 1，則稱 a， b 互素。累次利用帶余除法可以求出 a， b 的最大公因數(shù)，這種方法常稱為輾轉(zhuǎn)相除法。又稱歐幾里得算法。 【存在性】設(shè)集合 S={… ， a3b， a2b， ab， 0， a+b， a+2b， a+3b， …}={a+bk: k是整數(shù) }記 T 為 S 和自然數(shù)集的交集， T 非空，由自然數(shù)集的良序性，知 T 中有一最小元素 t。設(shè) t=abq， q 為整數(shù)。則 abq≥0?，F(xiàn)假設(shè) abq≥|b|，但這樣便有ab(q177。1)≥0成立（ b 為正數(shù)時取加號，負(fù)數(shù)時取減號），且 ab(q177。1)≤abq。這違反了 t 是最小元素這一事實，於是 abq|b|。令 r=aqb，即證存在性。 【唯一性】設(shè) q r1 是滿足 a=bq+r， 0≤r|b|的另一對整數(shù)，因為 bq1+r1=bq+r，于是 b(qq1)=r1r 故 |b||qq1|=|r1r|由于 r 及 r1 都是小于 b 的非負(fù)整數(shù)，所以上式右邊是小于 |b|的。如果 q≠q1，則上式左邊 ≥|b|，這是不可能的。所以 q=q1， r=r1，即證唯一性。 整數(shù)帶余除法的一些性質(zhì) (ⅰ ) b?a ? ?b ??a； (ⅱ ) c ?b， b?a ? c?a； (ⅲ ) b?ai， i = 1, 2, …, n ? b?a1q1 ? a2q2 ? … ? anqn，此處 qi（ i = 1, 2, ? , n）是任意的整數(shù)； (ⅳ ) b?a ? bc?ac， 此處 c 是任意的非零整數(shù)； (ⅴ ) b?a， a ? 0 ?|b|?|a|； b?a 且 |a||b|? a = 0。 一、有關(guān)概念 公因數(shù)及個數(shù)，總和； 最大公約數(shù)； 互質(zhì)數(shù)； 兩兩互質(zhì)； 二、輾轉(zhuǎn)相除法 定理 1：設(shè) a， b， c 是不全為 0 的整數(shù)，且 a=bq+c， q 為整數(shù) 則（ 1） a， b 與 b， c 有相同的公因數(shù)； （ 2） (a， b)=(b， c) 定理 2：設(shè) ,ab為正整數(shù)，則 ? ?, nab r? 推論： ,ab的公因數(shù)與 ? ?,ab 的因數(shù)相同。 三、最大公因數(shù)的性質(zhì) ? ? ? ?,am bm a b m m? 為正整數(shù) ? ?, abab ?? ? ????????為 ,ab的公因數(shù) ? ? ? ?,1,aba b a b??????? 設(shè) ? ?1 2 2,a a d? ， ? ?2 3 3,d a d? ， ? ?1,n n nd a d? ? 則 ? ?1 2 3, , , nna a a a d? 整除的進(jìn)一步性質(zhì)與最小公倍數(shù) 一、整除的進(jìn)一步性質(zhì) 定理 1：設(shè) ,ab為任意的正整數(shù)，則 1( 1 ) 1 , 2 , ,kk k kQ a P b r k n?? ? ? ? 其中， 1 1 211, k k k kP P q P P q P??? ? ? ? 1210 , 1 1 , 2 , ,k k k kQ Q Q Q q Q k n??? ? ? ? ? 推論：設(shè) ,ab為任意兩個不全為 0 的整數(shù)，則存在兩個整數(shù) ,st使得 ( , )as bt a b?? 成立，反之不成立。 例如 4, 6ab?? 有 3 ( 1 ) 6 ( , )a b a b? ? ? ? ? ? 定理 2： ( , ) 1ab??存在整數(shù) ,st使得 1as bt?? 推論 1：設(shè) ,abc為整數(shù)，且 ( , ) 1ac? ，則 （ 1） ,abc 與 ,bc有相同的公因數(shù)； （ 2） ( , ) ( , )ab c b c? 推論 2：若 ( , ) 1ac? ，且 ,cab 則 cb 推論 3：若 12, , , 。na a a 12, , , mb b b 是兩組任意的整數(shù)，且 ( , ) 1ijab? ，1,2, ,1,2, ,injm?? 則（ 12 ,naa a 12 mbb b ） =1 二、最小公倍數(shù) 定義： [, ]ab 1 2 3[ , , , , ]na a a a 說明： 1 0ia? ； 2 [ , ] [ , ]a b a b? ； 3 關(guān)系：公倍數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系； 最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的關(guān)系； 例如 1 當(dāng) ( , ) 1ab? 時，則 [ , ]a b ab? 2 若 ,ab都是正整數(shù)，且 ? ?( , ) ,a b a b? ，則 ab? 3 ? ?[ , ] , nnna b a b? ， nR?? 4 若 ( , ) 1ab? ，則 ? ?[ , ] ,a bc b a c? 多個整數(shù)的最小公倍數(shù)的求法如何？ ? ?1 2 2,a a d? ， ? ?2 3 3,m a m? ， ? ?1,n n nm a m? ? 則 ? ?1 2 3, , , nna a a a m? 第三章 多項式的 帶余除法 帶余除法 是高等代數(shù)最基本的概念之一，通過查找相關(guān)資料了解到整數(shù)和一元多項式的帶余除法有著相同的思想。即在進(jìn)行整數(shù)和多項式的除法運算是少不了要使用輾轉(zhuǎn)相除法， 而 輾轉(zhuǎn)相除法的基本步驟就是帶余除法。 本 章將討論 多項式帶余除法定理的證明和應(yīng)用 ,因為多項式的帶余除法是整數(shù)帶余除法的推廣，所以多項式的帶余除法中將涉及輾轉(zhuǎn)相 除法的介紹，整除的基本概念與基本性質(zhì)、最大公因式、公共根、重根以及一元多項式矩陣的相關(guān)性質(zhì)。 帶余除法的定理及其證明 （見文 [1]） 定理 ： 則存在唯一的 ( ), ( ) [ ]q x r x P x? ，使 ( ) ( ) ( ) ( ),f x q x g x r x?? 其中 ( ) 0rx? 或 ( ) ( )r x g x? ?? 。我們稱 ()qx 和 ()rx 分別為用 ()gx 去除 ()fx所得的商和余式。 證明 ： 存在性 設(shè) 10 1 0( ) ( 0) .nn ng x a x a x a a?? ? ? ? ? 如果 0n? ，則取01( ) ( ), ( ) 0q x f x r xa??即可。下面假定 0n? 。對 ()fx的次數(shù)做數(shù)學(xué)歸納法：如果 ()fx=0或 ()f x n??，則令 ( ) 0 , ( ) ( )q x r x f x??即滿足要求。設(shè)()f x m??，命題正確，則當(dāng) ()f x m??時，有 ? ?10 1 0( ) 0mm mf x b x b x b b?? ? ? ? ? （這里 mn? ），令 01 0( ) ( ) ( ) .mnbf x f x x g xa ??? 若 1( ) 0fx? ，則取 00( ) , ( ) 0mnbq x x r xa ???。否則，因 1()f x m??，按歸納假設(shè)，存 在 11( ), ( ) [ ]q x r x P x? ，使得 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ,f x q x g x r x?? 這里 1( ) 0rx? 或 1( ) ( )r x f x? ?? ?，F(xiàn)令 0110( ) ( ) , ( ) ( ) ,mnbq x x q x r x r xa ?? ? ? 則顯然有 ( ) ( ) ( ) ( ),f x q x g x r x?? 唯一性 設(shè) ( ), ( )q x r x 也滿足命題要求，那么 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) .q x g x r x q x g x r xq x q x g x r x r x? ? ?? ? ? 比較兩邊的次數(shù)，即可知 ( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0r x r x q x q x? ? ? ? 帶余除法的 二種 計算格式 （見文 [2]） 用多項式除多項式所得的商和余式可以通過如下兩種格式進(jìn)行 普通除法 （ 長除法 ） ()rx商 q(X)除 式 g(x) 被 除 數(shù) f(x) )q （ x） g(x) 余 式 豎式除法