【文章內(nèi)容簡介】 ????????? ?????? ?? ???? ? ? ???? ? ? ??????? ????????（ 224） ])()()[(21mmmmjjjjiiii uycxbauycxbauycxbaAu ?????????])()()[(21mmmmjjjjiiii ycxbaycxbaycxbaA ???? ?????????（ 216） 求導后代入式（ 26），得到應變和節(jié)點位移的關系式。 xvyuyvxu???????? ,}]{[}{ ?? B? （ 225） 式中 , [B]—— 單元應變矩陣 。 對本問題 ， 維數(shù)為 3 6。 它的分塊形式為： ]][][][[][ mji BBBB ?子矩陣 : ),(0021][ mjibccbABiiiii??????????? （ 226） 由于 與 x、 y無關 ， 都是常量 ， 因此[B]矩陣也是常量 。 單元中任一點的應變分量是 [B]矩陣與單元節(jié)點位移的乘積 ， 因而也都是常量 。 因此 ， 這種單元被稱為常應變單元 。 mmjjii cbcbcbA ,,單元應力矩陣 將式（ 225）代入物理方程式（ 28），得 }]{[}{ ?? D? （ 28） }]{][[}{ ?? BD? （ 227） 上式也可寫為： }]{[}{ ?? S? （ 228） 這是單元內(nèi)任一點應力與單元位移的關系式 。 其中 [S]稱為單元應力矩陣 ， 并有： （ 229） ]][[][ BDS ? [D]是 3 3 彈性矩陣 ， [B]是 3 6應變矩陣 ，因此 [S]也是3 6 矩陣。它可寫為分塊形式 ]][][][[][ mji SSSS ?（ 230） 將彈性矩陣 （ 式 （ 29）） 和應變矩陣 （ 式 （ 226））代入 ， 得子矩陣 [Si] 由式（ 229）得： ]][[][ ii BDS ?),(2121)1(2][2mjibcccbbAESiiiiiii?????????????????????（ 231） 式 （ 231） 是 平面應力問題 的結(jié)果 。 對于平面應變問題 ，只要將上式中的 E換成 ， ?換成 即得 。 21 ??E???1),()1(221)1(22111)21)(1(2)1(][ mjibccbcbAESiiiiiii???????????????????????????????????????（ 232） 由于同一單元中的 [D]、 [B]矩陣都是常數(shù)矩陣 ， 所以 [S]矩陣也是常數(shù)矩陣 。 也就是說 ， 三角形三節(jié)點單元內(nèi)的應力分量也是常量 。 當然 ， 相鄰單元的 E， ?， A和 bi、 ci(i， j， m)一般不完全相同 ， 因而具有不同的應力 ， 這就造成在相鄰單元的公共邊上存在著應力突變現(xiàn)象 。 但是隨著網(wǎng)格的細分 ， 這種突變將會迅速減小 ， 平衡被滿足 。 ? ?61? ?? ?31? ?? ?36B ?幾何關系位移函數(shù) ? ?33D ?幾何關系 ? ?31? ?? 平衡關系 ? ?61F ?? ? ? ?? ?36S D B? ?? ? 66 ?ek ? ?單元剛度矩陣 單元應變能和外力勢能的矩陣表達 單元應變能 仍以平面應力問題中的三角形單元說明，設單元厚度為 h 1()21{ } { }2x x y y x y x yATAU h d x d yh d x d y? ? ? ? ? ???? ? ??????將式 （ 225） 和 （ 227） 代入上式進行矩陣運算 ， 并注意到彈性矩陣 [D]的對稱性 ， 有 ??? A T hdx dyDU }]{[}{21 ?? ? ???? A TT hdx dyBDB ?? ]][[][}{21應變能 U為： i j m x y h ? ? ? ?? ? ? ? ? ?TTTT DD ??? ?? )(? ? ? ?? ?B???由于 ???和 ???T是常量，提到積分號外，上式可寫成 ? ? }{]][[][}{21 ?? ??? A TT hdx dyBDBU引入矩陣符號 [k]，且有： ??? A T hd x dyBDBk ]][[][][（ 233a） 式（ 233a）是針對平面問題三角形單元推出的。注意到其中 hdxdy的實質(zhì)是任意的微體積 dv，于是得 [k]的一般式。 ? ? ? ?? ?dvBDBkvT??][（ 233） 式（ 233）不僅適合于平面問題三角形單元，也是計算各種類型單元 [k]的一般式 。 ? ???? A TT hdx dyBDBU ?? ]][[][}{21 [k]的力學意義是單元剛度矩陣。式（ 233）便是計算單元剛度矩陣的基本矩陣式。它適合于各種類型的單元。 單元應變能 寫成 }]{[}{21 ?? kU T?（ 234） 單元外力勢能 單元受到的外力一般包括體積力 、 表面力和集中力 。自重屬于體積力范疇 。 表面力指作用在單元表面的分布載荷 ， 如風力 、 壓力 ， 以及相鄰單元互相作用的內(nèi)力等 。 ? ? ? ?? ?dvBDBkvT??][（ 233） （ 1） 體積力勢能 單位體積中的體積力 如式（ 22）所示。 單元上體積力具有的勢能 Vv為 ???? A VTv h d x d yqfV }{}{（ 22） TVyVxV qqq ][}{ ?i j m x y qVx qVy i j m x y u v 注意到式（ 220） ???? ???? A VTTA VTv hd x dyqNhd x dyqNV }{][}{}{})]{([ ??有 }]{[}{ ?Nf ?（ 220） （ 2） 表面力勢能 面積力雖然包括單元之間公共邊上互相作用的分布力 ， 但它們屬于結(jié)構(gòu)內(nèi)力 ， 成對出現(xiàn) ， 集合時互相抵消 ，在結(jié)構(gòu)整體分析時可以不加考慮 ， 因此單元分析時也就不予考慮 。 現(xiàn)在，只考慮彈性體邊界上的表面力，它只在部分單元上形成表面力（右下圖）。設 邊界單位長度上受到的表面力 如式（ 21）。 dAqNhdlqfV l STTl STS ?? ???? }{][}{}{}{ ?l— 單元邊界長度 h— 單元厚度 A— 表面力作用面積 （ 21） Tsysxsysxs qqqqq ][}{ ????????① ② ③ ④ ?qs? 則單元表面力的勢能 Vs為 （ 3） 集中力勢能 當結(jié)構(gòu)受到集中力時，通常在劃分單元網(wǎng)格時就把集中力的作用點設置為節(jié)點。于是單元集中力 ?Pc?的勢能 Vc為 }{}{ CTC PV ???（ 4）外力 總勢能 CSV VVVV ??? 如果把（ 235）式中原括號內(nèi)的部分用列陣 ?Fd?代替， 綜合以上諸式，單元外力的總勢能 V為 ? ???? ???? l CSTA VTT phdlqNhdx dyqN }{}{][}{][}{ ? （ 235） ?Fd?具有和 ???相同的行、列數(shù)。則： dF 由單元的應變能 U（ 234） 和外力勢能 V（ 236） , 可得單元的總勢能 ? }{}{}]{[}{21 dTT FkVU ??? ?????（ 237） 以節(jié)點位移為未知量，對總勢能取極值問題變成了一個多元函數(shù)的極值問題。有極值條件 0}{ ?? ??? 能量原理和單元平衡方程 }{}{ dT FV ???（ 236） 式（ 238）是從能量原理導出的單元平衡方程。這個方程表達了單元力與單元位移之間的關系。其中， ?Fd?和單元節(jié)點力 ?F?具有相同的意義。 }{}]{[ dFk ?? （ 238） 于是，將式（ 237）代入，即得單元平衡方程 : 根據(jù)彈性力學能量原理： 結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定平衡的必要和充分條件是總勢能有極小值 。 單元剛度矩陣 平衡方程（ 238）中的矩陣 [k]是單元力和單元位移關系間的系數(shù)矩陣，代表了單元的剛度特性，稱為單元剛度矩陣。單元剛度矩陣的體積為 nj nj， nj 是單元位移總數(shù)。 計算單元剛度矩陣的一般公式 計算各類單元的單元剛度矩陣可用式（ 233）執(zhí)行。它與單元應變矩陣 [B]和彈性矩陣 [D]有關。 ? ? ? ?? ?dvBDBkvT??][（ 233） 對于平面應力三角形單元，應變矩陣 [B]是常數(shù)矩陣，同時彈性矩陣 [D]也是常數(shù)矩陣，于是式（ 233）可以化簡為 式中 A表示三角形單元的面積。 平面問題三角形單元剛度矩陣 （ 1）平面應力三角形單元 ? ? ? ?hASBhABDBk TT ?