有限元習題與答案(編輯修改稿)
2025-07-20 23:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 （3）解：節(jié)點編號如圖(2)所示；如圖(3)設置位移邊界條件才能約束結構的剛體移動；如圖(2)所示各節(jié)點的坐標為(以m為單位)：1(0,0)，2(,0)，3(0,)，4(, )，5(0,)，6(,)，7(0,)，8(,)解：單元號 1 2 3 4 5 6 相鄰結點 1 3 4 5 5 7 2 2 5 4 6 6 3 4 3 6 7 8對于單元號1：；；；；；；對于單元號2：；；；；；；對于單元號3：；；；；；；對于單元號4：；；；；；；對于單元號5：；；；；；；對于單元號6：；；；；；；平面三角形單元的面積均為 彈性矩陣均為 應變矩陣 應力矩陣 單元剛度矩陣 結構剛度矩陣為： 若施加一定載荷，求解步驟為：對單元編號，并列出各單元三個結點的結點號；計算外載荷的等效結點力，列出結構結點載荷列陣；計算單元剛度矩陣，組集結構整體剛度矩陣引入邊界條件，即根據(jù)約束情況修正結構有限元方程，特別是消除整體剛度矩陣的奇異性，得到考慮約束條件的可解的有限元方程。利用線性方程組的數(shù)值解法，對結構的有限元方程進行求解，得到所有各結點的位移向量。最后根據(jù)需要求解單元應力。其兩端受均勻拉伸。板長12cm,寬4cm，厚1cm。材料，泊松比。均勻拉力。使用有限元法求解板的內(nèi)應力，并和精確解比較（提示：可利用結構對稱性，并用2個三角形單元對結構進行離散）。解：解：結點編號 1 2 3 4 單元號 1 2 X坐標 0 12 0 12 相鄰結點 1 3 Y坐標 0 0 4 4 2 2 3 4平面三角形單元的面積均為 應力矩陣為：單元1的應變距陣為：單元1的單元剛度矩陣為：單元2的應變距陣為：單元2的單元剛度矩陣為：總剛度矩陣為：位移分量為：載荷列陣為：因為 可以得單元1的單元應力： 單元2的單元應力： 長方形薄板內(nèi)應力的精確解為：拉應力，用有限元法求解出的結果與精確解大致相等。 驗證三角形單元的位移差值函數(shù)滿足及。解：平面三角形形函數(shù)為：，其中，分別是行列式2A中的第一行，第二行和第三行各元素的代數(shù)余子式。行列式中，任一行的元素與其相應的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的值，而任一行的元素與其它行對應元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，故有：當，同時有，同理也有：，即。 推導如圖所示的9節(jié)點矩形單元的形函數(shù)。解:三維桿單元的形狀函數(shù)， ①在局部坐標系中令節(jié)點1,5,2所對應的帶入①式得到節(jié)點1,5,2僅在x方向上的形函數(shù)： ②同理可得： 由，即節(jié)點2,6,3，可得到沿著全局坐標系y軸的形狀函數(shù)(通過變量輪換)，節(jié)點1的形函數(shù)即x，y方向的乘積：由此可得：同理可整理得：，，， 如圖所示為一個桁架單元，端點力為[U1，U2]，端點位移為[u1，u2]，設內(nèi)部任一點的軸向位移u是坐標x的線性函數(shù)：推導其形函數(shù)矩陣N。解：軸向位移u是坐標x的線性函數(shù)，寫成向量形式為，設兩個節(jié)點的坐標為，代入向量形式的位移函數(shù)解得：則由位移函數(shù)可得形函數(shù)為： 答：軸對稱三角形環(huán)單元不是常應變單元，如果彈性體的幾何形狀、約束條件及載荷都對稱于某一軸，則所有的位移應變及應力也是對稱于此軸，這樣問題稱為軸對稱。軸對稱三角形環(huán)單元與平面常應變單元是不同的，軸對稱三角形環(huán)單元的應變不是常數(shù)矩陣，其應變矩陣B=[B B B],其中B=，（i,j,m）。應變分量，都是常量，但環(huán)向應變不是常量，它與，中的r和z有關。 答：軸對稱問題中，剛度自由度：環(huán)向位移，徑向位移，軸向位移。以三角環(huán)單元平均半徑、平均高度進行計算的單元剛度矩陣，配合以精確積分所得的等效結點載荷矩陣，計算的結果還是不錯的！ 軸對稱問題的兩個單元a和b，設材料的彈性模量為E，泊松比為μ = ，試手算這兩個單元的剛度矩陣。 解：對于單元，由題可知：單元a的截面面積為單元a的剛度矩陣寫成分塊矩陣形式為：其中子矩陣可寫為：所以的剛度矩陣為對于單元，由題可知單元的截面面積為單元的剛度矩陣寫成分塊矩陣形式為： 其中子矩陣可寫為：所以單元的剛度矩陣為 答：桿件受到縱向（平行于桿軸）載荷的作用，這樣桿件的拉壓問題；桿件受到橫向（垂直于桿軸）載荷的作用，這是梁的彎曲問題。桿件受到力相似到薄板就有，薄板受到縱向載荷的作用，這是平面應力問題；薄板受到橫向載荷的作用，這是薄板的彎曲問題。薄板的彎曲可以認為是梁彎曲的推廣，是雙向的彎曲問題，中面法線在變形后保持不伸縮，并且成為彈性曲面的法線，中面在變形后，其線段和面積的投影形狀保持不變（小撓度薄板）。已知中面的撓度，而縱向位移、主要應力分量。某一點的位移：。某一點的應力：,彈性曲面微分方程,其中……板的抗撓剛度。 答：矩形薄板單元：薄板單元位移函數(shù)并不滿足連續(xù)性或相容性要求，采用這種位移函數(shù)的單元是非協(xié)調(diào)單元，這種四節(jié)點矩形彎曲單元變形后，其撓度面在單元間雖然互相連續(xù)，但其法向?qū)?shù)并不連續(xù)，單元間在變形后是不連
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