1有限元法(編輯修改稿)
2024-11-17 17:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ? ? ? ? 55 55 2 3,22 3,2 ?????????????? ?? fk? ? ? ? 3 4,33 4,3 ????????????? ? ?? fk? ? ? ? ?????????????? ?? 55 55 4 5,44 5,4 fk? ?? ? 0 .10 .10 .20 .20 .10 .10 .10 .1 55555555 ????????????????????????????????????????????????fk? 2. 一維有限元法 整個問題的代數(shù)方程組： 0 . 10 . 30 . 30 . 20 . 1 5551055554321??????????????????????????????????????????????????????????????? ?? ? ? ? ? ?bfK ??? 稱為有限元 剛度矩陣 ， 但不能直接求解 ，需要消去1行、 1列。 ? 2. 一維有限元法 由邊界條件對整個問題的代數(shù)方程組消元： 由問題的邊界條件，第 5 個節(jié)點電位為 ，已知，故消去該節(jié)點的方程： 5行 5列。必有這一步，實際上原 K矩陣行列式的值為 0， 本質(zhì)上是找參考電位 5105554321??????????????????????????????????????????????? 4321?????????????????????????????由于參考電位為 ，所以 1－ 4號節(jié)點計算值 + 1 54321??????????????????????????????????????有限元計算與真解比較： ? 2. 一維有限元法 ??????????????????????????20112 0 50 1 xxn?????.212x???真解： 節(jié)點處與真解相等，節(jié)點間、單元內(nèi)有誤差，顯然剖分越密，誤差越小 1 54321??????????????????????????????????????有限元法小結(jié)： ? 2. 一維有限元法 有限元法是針對加權(quán)余數(shù)法和變分法將偏微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)方程后的后續(xù)方法，它將代數(shù)方程系數(shù)矩陣的構(gòu)成規(guī)范化，以便于計算機(jī)處理 有限元法首先要對場域單元化（剖分），并編號。求解變?yōu)榍蠊?jié)點的位函數(shù)值 各單元內(nèi)系數(shù)矩陣對整體系數(shù)矩陣的貢獻(xiàn)形式相同（嘗試函數(shù)在局部坐標(biāo)下形式相同，待定系數(shù)就是節(jié)點位函數(shù)值）（只與單元坐標(biāo)有關(guān)）（便于計算機(jī)重復(fù)計算） 最后封裝整體系數(shù)矩陣，并消去參考節(jié)點的行、列，求解矩陣方程即可。 仍然以一個靜電場例子 ， 講二維有限元： ? 3. 二維有限元法 間軸傳輸線，兩個同芯長方形導(dǎo)體之間充滿線性介質(zhì)，兩導(dǎo)體間加有直流電壓 10v，導(dǎo)體間貯有電荷，傳輸線的長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其截面，可認(rèn)為電場在傳輸線各個截面上的分布都相同，只需求解電場在某個截面的分布 。 場域剖分 ? 3. 二維有限元法 原則上講，二維有限元可以取為各種多邊形，如三角形、四邊形等等。與其它多邊形相比，三角形具有以下兩個優(yōu)點： (1)描述二維三角形的多項式有 3項，該數(shù)目與三角形的頂點數(shù)以及節(jié)點上未知量的個數(shù)恰好相同，因而使得多項式形函數(shù)的利用率最高 。 (2)三角形形狀簡單，能十分便利地表示復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)。 把兩個要求解的量聯(lián)系起來，有限元中 令待定系數(shù)就是節(jié)點電位 ， 當(dāng)然嘗試函數(shù)要重新確定 ? ?? ? ? ? ? ?bfK ??? 任意單元內(nèi)節(jié)點嘗試函數(shù)的選?。? ? 3. 二維有限元法 任意三角形單元由節(jié)點 i， j， k構(gòu)成，每個節(jié)點的嘗試函數(shù)（三角形平面）選擇的規(guī)律一樣： 如 i節(jié)點：在 i點處為 1，在 j， k節(jié)點處為 0，從而構(gòu)成單元 e內(nèi)的嘗試函數(shù) i?節(jié)點嘗試函數(shù)的表達(dá)式： ? 3. 二維有限元法 i?代入平面方程確定平面參數(shù) ：（用矩陣形式作規(guī)范化求解） yxcybxaZ eieieiei ???? ???????平面方程：)0,()0,()1,( kkjjii yxkyxjyxl ；；平面過三個點：ky
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