有限元試題總結(jié)(編輯修改稿)
2025-04-22 01:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 結(jié)構(gòu)的平衡條件),從而得到問題的解。這個(gè)解不是準(zhǔn)確解,而是近似解，因?yàn)閷?shí)際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數(shù)實(shí)際問題難以得到準(zhǔn)確解，而有限元不僅計(jì)算精度高,而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀,因而成為行之有效的工程分析手段。有限元方法與其他求解邊值問題近似方法的根本區(qū)別在于它的近似性僅限于相對小的子域中。有限元法是RayleighRitz法的一種局部化情況。不同于求解(往往是困難的)滿足整個(gè)定義域邊界條件的允許函數(shù)的RayleighRitz法,有限元法將函數(shù)定義在簡單幾何形狀(如二維問題中的三角形或任意四邊形)的單元域上(分片函數(shù)),且不考慮整個(gè)定義域的復(fù)雜邊界條件,這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。1 經(jīng)典Ritz方法與現(xiàn)代有限元方法有何異同？答：有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函數(shù)”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。兩種方法都需要尋找坐標(biāo)基函數(shù)；但兩者差別在于Ritz法需要滿足全域的連續(xù)函數(shù)作為坐標(biāo)函數(shù)，這將引起解的代數(shù)方程組可能滿陣，造成較大計(jì)算工作量；有限元方法是尋找分片連續(xù)函數(shù)來逼近，基函數(shù)是在單元中選取的．由于各個(gè)單元具有規(guī)則的幾何形狀，而且可以不必考慮邊界條件的影響，因此在單元中選取基函數(shù)可遵循一定的法則。使解得計(jì)算量減小和有效性增大。二、 分析題 （30分）q（10分）已知一等截面懸臂桿（截面積為A，彈性模量為E）承受沿軸向均勻分布載荷q及端部軸向應(yīng)力s（如下圖），寫出勢能泛函(用軸向位移表達(dá))？xsL解：勢能泛函包括三個(gè)部分，一個(gè)部分是由于桿的變形桿中存儲(chǔ)的勢能，第二部分是分布力的勢能，第三部分是端部軸向應(yīng)力的勢能。（8分）構(gòu)造下圖一維桿單元三個(gè)節(jié)點(diǎn)的Lagrange標(biāo)準(zhǔn)插值基函數(shù)？321Lx（8分）已知一懸臂梁（如下圖，等截面）承受軸向均勻分布載荷q, 用有限元方法求解端點(diǎn)A的位移？Aq解：微分方程描述僅求解A點(diǎn)位移，可將整根梁看做一個(gè)單元：則A點(diǎn)的線性位形函數(shù)可寫為：則 梁的能量泛函為： 則由此可得或者法二：分布軸力q的等效： 解得：h（8分）構(gòu)造下圖8節(jié)點(diǎn)單元中角節(jié)點(diǎn)1的Lagrange標(biāo)準(zhǔn)二次插值基函數(shù)？743+18+11x61521答 再改造原四節(jié)點(diǎn)情況下的角節(jié)點(diǎn)基函數(shù)， 對角點(diǎn)1分析：選時(shí)，在節(jié)點(diǎn)8處不為零而為，故處理為：（8分）構(gòu)造下圖正方形上關(guān)于原點(diǎn)的Lagrange標(biāo)準(zhǔn)雙二次插值基函數(shù)？h [1，1]74386o03x [1，1]512解： 將代入上述基得到：因此對于中點(diǎn)的基函數(shù)為 y （12分）已知一矩形等截面彈性體扭轉(zhuǎn)問題的泛函表達(dá)式為：x2b2a式中，f為應(yīng)力函數(shù)，且在邊界上求1：與問題等價(jià)的控制微分方程（ Euler方程）。求2：取f 的近似解形式為： ，a為未知參數(shù)，求使泛函I取極值f 的具體近似解。解：（1
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