【正文】 y向都產(chǎn)生單位位移時(shí)，單元作平動運(yùn)動，無應(yīng)變，也無應(yīng)力，因而單元結(jié)點(diǎn)力為零（不含初應(yīng)力）。 ?????????????????????srsrsrsrsrsrsrsrsTrrsbbcccbbcbccbccbbAEhhABDBk21212121)1(4]][[][][2 ???????第三步：形成 [k] 將 [kii]等按式（ 240）組集成 [k] 。 由此得出重要結(jié)論 ： 平面問題的單元剛度矩陣 [k]計(jì)算式不因坐標(biāo)系不同而變。 ??? ??????????????????????????????srsrsrsrsrsrsrsrrsbbcccbbcbccbccbbAhEk)1(221)1(2211)1(2211)1(221)21)(1(4)1(][???????????????),( mjisr ?，組合見式（ 240） 圖 27 i j m x y o (a) x y o (b) 應(yīng)當(dāng)注意的是 ： 當(dāng)單元旋轉(zhuǎn)時(shí)，各節(jié)點(diǎn)的編號保持不變。 平面問題三角形單元剛度矩陣 （ 1）平面應(yīng)力三角形單元 ? ? ? ?hASBhABDBk TT ?? ]][[][][ （ 239） 將式 （ 29） 和 （ 226） 代入上式 ， 即得平面應(yīng)力三角形單元剛度矩陣。單元剛度矩陣的體積為 nj nj， nj 是單元位移總數(shù)。這個(gè)方程表達(dá)了單元力與單元位移之間的關(guān)系。 dAqNhdlqfV l STTl STS ?? ???? }{][}{}{}{ ?l— 單元邊界長度 h— 單元厚度 A— 表面力作用面積 （ 21） Tsysxsysxs qqqqq ][}{ ????????① ② ③ ④ ?qs? 則單元表面力的勢能 Vs為 （ 3） 集中力勢能 當(dāng)結(jié)構(gòu)受到集中力時(shí)，通常在劃分單元網(wǎng)格時(shí)就把集中力的作用點(diǎn)設(shè)置為節(jié)點(diǎn)。 qVx qVy i j m x y 自重屬于體積力范疇 。 ? ???? A TT hdx dyBDBU ?? ]][[][}{21 [k]的力學(xué)意義是單元剛度矩陣。 但是隨著網(wǎng)格的細(xì)分 ， 這種突變將會迅速減小 ， 平衡被滿足 。 對于平面應(yīng)變問題 ，只要將上式中的 E換成 ， ?換成 即得 。 因此 ， 這種單元被稱為常應(yīng)變單元 。 xvyuyvxu???????? ,}]{[}{ ?? B? （ 225） 式中 , [B]—— 單元應(yīng)變矩陣 。對于本單元，有 : mmjjiimmjjii NNNyxuNuNuNyxu ???? ?????? ),(),(0),(0),(1),( ??? mmijjiiii yxNyxNyxN（ i、 j、 m） 性質(zhì) 2 在單元中任一點(diǎn)，所有形函數(shù)之和等于 1。 [N]為形函數(shù)矩陣 ， 進(jìn)一步寫成分塊形式： ]][][][[][ mji NNNN ? （ 221） 其中子矩陣 ),(][00][ mjiINNNN iiii ???????? （ 222） [I]是 2 2的單位矩陣。 式（ 217）表明： ai、 bi、 ci～ am、 bm、 cm是單元三個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)。 將它們代入式（ 212），有 : )122(654321 ??????? yaxaayaxaau ?iiiiii yaxaayaxaau 654321 ?????? ?jjjjjj yaxaayaxaau 654321 ?????? ?mmmmmm yaxaayaxaau 654321 ?????? ?（ 213） 從式（ 213）左邊 3個(gè)方程中解出待定系數(shù) a a a3為 : mmmjjjiiiyxuyxuyxuAa211 ?mmjjiiyuyuyuAa111212 ?mmjjiiuxuxuxAa111213 ?（ 214） 式中， A為三角形單元的面積，有 : mmjjiiyxyxyxA11121? （ 215） 特別指出： 為使求得面積的值為正值，本單元節(jié)點(diǎn)號的次序必須是逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，如圖所示。 以③、④的邊界 26為例 : 2 5 6 ③ 2 6 3 ④ ③ ④ 5 6 2 3 x y u u6 u2 u u6 u2 兩條直線上有兩個(gè)點(diǎn)重合，此兩條直線必全重合。容易證明，三角形三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元滿足以上必要與充分條件。 （ 6） 位移函數(shù)在單元內(nèi)要連續(xù) 。以便用單元位移確定位移函數(shù)中的待定常數(shù)。 式（ 212）位移函數(shù)中， a a4代表剛體位移， a a3 、 a5 、 a6 代表單元中有常應(yīng)變，且位移函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。這里，仍以平面問題三角形單元（圖 22）為例，說明設(shè)定位移函數(shù)的有關(guān)問題。彈性力學(xué)中，恰當(dāng)選取位移函數(shù)不是一件容易的事情。但結(jié)構(gòu)類型不同，力學(xué)性態(tài) (應(yīng)力分量、應(yīng)變分量 )有區(qū)別， 彈性矩陣 [D]的體積和元素是不同的。 ??? Txyyx ][}{ ???? ? （ 24） 物理方程矩陣式 ???????????????????????????????????xyyxxyyxE?????????21001112稱對（ 27） 式中 E、 ?—— 彈性模量、泊松比。 qs 本章主要講單元分析的一般理論、方法。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ z x y ux uy uz ② （ 2） 從結(jié)構(gòu)中取出單元，進(jìn)行 單元分析 ⑦ 5 2 6 2 3 ② 桿件單元 板單元 ? ????????????????????mmjjiivuvuvu? ? ????????????????????????ymxmyjxjyixiFFFFFFF? ????????????????????????jjjjiiwvuwvu? ? ????????????????????????zjyjxjziyixiFFFFFFF? ? ? ?? ??kF ?第二章 單元分析 —— 平面問題常應(yīng)變單元 在用矩陣描述單元各種力學(xué)量時(shí)，不同性質(zhì)單元的同一力學(xué)量可采用相同的矩陣符號，不同的僅僅是矩陣體積和矩陣元素。 單 元 分 析 的 內(nèi) 容 結(jié)點(diǎn)位移 (1) 單元內(nèi)部各點(diǎn)位移 單元應(yīng)變 單元應(yīng)力 (2) (3) 結(jié)點(diǎn)力 (4) 位移協(xié)調(diào)模式 幾何方程 物理方程 平衡方程邊界條件 單元分析 單元剛度矩陣 （ 21） Tsysxsysxs qqqqq ][}{ ????????單元內(nèi)任意點(diǎn)的 體積力 列陣 ?qV? （ 22） TVyVxVyVxV qqqqq ][}{ ????????單元表面或邊界上任意點(diǎn)的 表面力 列陣 ?qs? i j m x y i j m x y qV ??? 單元內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力列陣 ??? Txyyx ][}{ ???? ? （ 25） 幾何方程列陣 Txyuyxu???????????????? ??? }{ （ 26） xvyuyvxuxyyx ???????????? ??? ,將上式代入式（ 24） i j m x y 21 ??E???1}]{[}{ ?? D? （ 28） 各種類型結(jié)構(gòu)的彈性物理方程都可用式（ 28）描述。一般而論， 位移函數(shù)選取會影響甚至嚴(yán)重影響計(jì)算結(jié)果的精度 。