【文章內容簡介】 ??T 整體坐標系下的單元剛度矩陣 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? eeeeeee kTkTTkTF ??? ??? ? T1 式中 —— 整體坐標下的單元剛度矩陣。 ??ek? ? ? ?? ? ? ?TTkTk ee ? 和 一樣， 為對稱陣、奇異陣 。 ??ek ??ek第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法 45 整體剛度矩陣 整體剛度矩陣的建立 整體剛度矩陣也稱之為結構剛度矩陣或總體剛度 矩陣，簡稱總剛。 整體剛度矩陣的求解是建立在結構 平衡條件的基礎之上， 因此研究對象以整體坐標系為 依據。 圖 39 載荷向量示意圖 如右圖所示剛架結構，其結點載荷列向量分別為 ? ? ? ? MPPP yx?? ? ? ? MPPP yx?? ? ? ? MPPP yx?? ? ? ? MPPP yx?第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法 46 結構載荷列向量 ? ? ? ?T4321 PPPPP ?? ? ? ? T44433322211 1 MPPMPPMpPMPPP yxyxyxyx?結點位移列向量 ? ? ? ?T4321 ????? ?? ? ? ? T444333222111 ????? vuvuvuvu?對于結點 1 對于結點 2 對于結點 3 對于結點 4 ?????????????????????111111111MPPMYXyx ? ? ? ?111 PF ?????????????????????????????????222222222121212MPPMYXMYXyx? ? ? ? ? ?22212 PFF ??????????????????????????????????333333333232323MPPMYXMYXyx? ? ? ? ? ?33323 PFF ???????????????????????444343434MPPMYXyx ? ? ? ?434 PF ?建立結點平衡條件方程式如右表 。 第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法 47 用分塊矩陣的形式，建立桿端內力與結點位移的關系式。 對于單元 1有 簡寫為 其中單元 1的剛度矩陣 關系式展開為 ???????????????????????????211221211121111211??kkkkFF? ? ? ?? ?111 ?kF ?? ? ??????? 1221211121111kkkkk? ?? ?21221121122112111111 ?? ?? kkF kkF ?? ??第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法 48 對于單元 2有 簡寫為 其中單元 2的剛度矩陣 關系式展開為 ???????????????????????322332322232222322??kkkkFF? ? ? ? ? ?222 ?kF ?? ? ??????? 2332322232222kkkkk? ?? ?32332232232223222222 ?? ?? kkF kkF ?? ??第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法 49 對于單元 3有 簡寫為 其中單元 3的剛度矩陣 關系式展開為 ???????????????????????????433443433343333433??kkkkFF? ? ? ? ? ?333 ?kF ?? ? ??????? 3443433343333kkkkk? ?? ?43443343344334333333 ?? ?? kkF kkF ?? ??第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法 50 單元剛度矩陣由 2 2的子矩陣組成， 每個子矩陣是 3 3的方陣。 的上角標表示單元編號，下角標表示單元 j端單位位移所引起的 i端相應力。 將桿端內力與結點位移關系式代入結點的平衡條件方程式中，經整理得： eijk?????????????????????????????????????????????43214321344343334333233232223222122121112111000000PPPPkkkkkkkkkkkk????簡寫為 ? ?? ? ? ?PK ??稱之為結構原始平衡方程。其中 ? ??????????????????344343334333233232223222122121112111000000kkkkkkkkkkkkK 為整體剛度矩 陣。 ? ?K第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法 51 整體剛度矩陣的集成 整體剛度矩陣是由在整體坐標系下，矩陣按照結點編號的順序組成的行和列的原則，將全部單元剛度矩陣擴展成 n n方陣后對號入座疊加得到。 對于單元 1 ? ????????????????0000000000001221211121111 kkkkK對于單元 2 ? ??????????????0000000000002332322232222kkkkK對于單元 3 ? ??????????????34434333433330000000000000kkkkK 單元剛度矩陣集成得出整體剛度矩陣 ? ? ? ? ? ? ? ?????????????????????34434333433323323222322212212111211132100000043214321kkkkkkkkkkkkKKKK結點編號第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法 52 整體剛度矩陣的性質 整體剛度矩陣 中位于主對角線上的子塊 ，稱為主子塊，其余 為副子塊。 a. 中主子塊 由結點 i的各相關單元的主子塊擴展之后疊加求得，即 b. 當結點 i、 j為單元 e的相關結點時， 中副子塊 為該單元 e相應的副子塊，即 。 c. 當結點 i、 j為非相關結點時， 中副子塊 為零子塊，即 。 d. 僅與各單元的幾何特性、材料特性，即 A、 I、l、 E等因素有關。 e. 為對稱方陣， f. 為奇異矩陣，其逆矩陣不存在，因為建立整體剛度矩陣時沒有考慮結構的邊界約束條件。 ? ?KiiKijK? ?K?? eiiii kK? ?KijKeijij kK ?? ?K ijK? ?0?ijK? ?K? ?Kjiij KK ?? ?K第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法 53 g. 為稀疏矩陣，整體剛度矩陣中的非零元素分布區(qū)域的寬度與結點編號有關，非零元素分布在以對角線為中心的帶狀區(qū)域內，稱為帶狀分布規(guī)律，見圖 310(a)。在包括對角線元素在內的區(qū)域中，每行所具有的元素個數叫做把半帶寬，以 d表示。 最大半帶寬等于相鄰結點號的最大差值加 1 與結點自由度數的乘積 ， 結點號差越大半帶寬也就越大。計算機以半帶寬方式存儲，見圖 310(b)。半帶寬越窄，計算機的存儲量就越少，而且可以大幅度減少求解方程所需的運算次數。其效果對大型結構顯得尤為突出。 圖 310 整體剛度矩陣存儲方法 h. 整體剛度矩陣稀疏陣。 故整體剛度矩陣不能求逆，必須作約束處理方能正確地將結點位移求出，進而求出結構的應力場。 (a) 帶狀分布規(guī)律 (b) 帶狀存儲 第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法 54 約束處理及求解 約束處理的必要性 建立結構原始平衡方程式 時，并未考慮支承條件（約束），也就是說，將原始結構處理成一個自由懸空的、存在剛體位移的幾何可變結構。整體剛度矩陣是奇異矩陣，因此，無法求解?？梢詤⒄盏? 2 章的原則，結合實際工程結構引入支承條件，即對結構原始平衡方程式 做約束處理。 約束處理后的方程稱為基本平衡方程。 統(tǒng)一記為 ? ?? ? ? ?PK ??? ?? ? ? ?PK ??? ?? ? ? ?PK ~~~ ?? 約束處理方法 約束處理常用方法有填 0臵 1法和乘大數法。采用這兩種方法不會破壞整體剛度矩陣的對稱性、稀疏性及帶狀分布等特性。 第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法 55 下面以圖 311所示剛架結構為例，解釋如何進行約束處理。對于下圖所示剛架結構 設結點位移列向量為 設結點載荷列向量為 ? ? ? ? ? ? T9321T321 uuuu ???? ????? ? ? ? ? ? T9321T321 ppppPPPP ?????(a) 固定支座 (b) 支座強迫位移已知 圖 311 結構約束 第三章 桿系結構靜力分析的有限單元法 56 其原始平衡方程式為 ????????????????????????????????32132123323222322212212111211100PPPkkkkkkkk??? 按照每個結點的位移分量將上式展開為 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????987654321987654321999897969594939291898887868584838281797877767574737271696867666564636