線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應沖激響應和階躍響應卷積積分(編輯修改稿)
2024-10-07 08:09 本頁面
【文章內容簡介】 (t)=2f(t)t≥ 0 試求系統(tǒng)的沖激響應 h(t)。 解 沖激響應 h(t)滿足動態(tài)方程式 h′ (t)+3h(t)=2δ(t)t≥ 0 由于動態(tài)方程式右邊最高次為 δ(t) ， 故方程左邊的最高次 h′ (t)中必含有 δ(t) ， 故設 h′ (t)=Aδ(t)+Bu(t) 因而有 h(t)=Au(t) 將 h′ (t)與 h(t)分別代入原動態(tài)方程有 Aδ(t)+Bu(t)+ 3Au(t)=2δ(t) Aδ(t)+(B+3A)u(t)=2δ(t) A=2， B=6 3. 系統(tǒng)的沖激響應 h(t)反映的是系統(tǒng)的特性 ， 只與系統(tǒng)的內部結構和元件參數(shù)有關 ， 而與系統(tǒng)的外部激勵無關 。 但系統(tǒng)的沖激響應 h(t)可以由沖激信號 δ(t)作用于系統(tǒng)而求得 。 在以上兩種求解系統(tǒng)沖激響應h(t)的過程中 ， 都是已知系統(tǒng)的動態(tài)方程 。 一線性非時變系統(tǒng) ， 當其初始狀態(tài)為零時 ， 輸入為單位階躍函數(shù)所引起的響應稱為單位階躍響應 ， 簡稱階躍響應 ， 用 g(t)表示 。 階躍響應是激勵為單位階躍函數(shù) u(t)時 ， 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 ， 如圖 。 線性非時變系統(tǒng)g ( t ){ ( 0 ) } ＝ { 0 }01tu ( t )g ( t )0 tu ( t )階躍響應示意圖 如果描述系統(tǒng)的微分方程是式 y(n)(t)+a n1 y(n1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm1 f (m1)(t)+… +b1f(1)(t)+b0f(t) ， 將 f(t)=u(t)代入，可求得其特解 上的特征根 λi(i= 1， 2， … ， n)均為單根 ， 則系統(tǒng)的階躍響應的一般形式 (n≥m) 為 00()b uta01 0( ) ( ) ( )intiibg t c e u ta????? 卷積積分 在信號分析與系統(tǒng)分析時 ， 常常需要將信號分解為基本信號的形式 。 這樣 ， 對信號與系統(tǒng)的分析就變?yōu)閷拘盘柕姆治?， 從而將復雜問題簡單化 ， 且可以使信號與系統(tǒng)分析的物理過程更加清晰 。 信號分解為沖激信號序列就是其中的一個實例 。 信號分解為沖激序列 從上圖可見 ， 將任意信號 f(t)分解成許多小矩形 ， 間隔為 Δτ ， 各矩形的高度就是信號 f(t)在該點的函數(shù)值 。 根據(jù)函數(shù)積分原理 ， 當 Δτ 很小時 ， 可以用這些小矩形的頂端構成階梯信號來近似表示信號 f(t)；而當 Δτ→ 0時 ， 可以用這些小矩形來精確表達信號 f(t)。 即 ( ) ( 0 ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( 2 ) )( ) ( ( ) ( ) )( ( ) ( ) ) ( ) ( 2 )( 0 ) ( )( ( ) ( ) )()((()kf t f u t u t f u t u tf k u t k u t ku t u t u t u tffu t k u t kfkutfk? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ???? ? ??????? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??????) ( ) )k u t k? ? ???? ? ? ? ? ??? 上式只是近似表示信號 f(t),且 Δτ 越小 ， 其誤差越小 。 當 Δτ→ 0時 ， 可以用上式精確地表示信號 f(t)。由于當 Δτ→ 0時 ， kΔτ→τ ， Δτ→dτ ， 且 00( ( ) ( ) )()( ( ) ( ) )( ) li m ( )li m ( ) ( )( ) ( )kku t k u t ktu t k u t kf t f kf k t kf t t d??? ? ????? ? ????? ? ? ?? ? ????? ?????? ?????? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ??????故式在 Δτ→ 0時 ， 有 卷積積分法求解零狀態(tài)響應 在求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 yf(t)時 ， 將任意信號 f(t)都分解為沖激信號序列 ， 然后充分利用線性非時變系統(tǒng)的特性 ， 從而解得系統(tǒng)在任意信號 f(t)激勵下的零狀態(tài)響應yf(t)。 由上式可得 0( ) ( ) ( ) l i m ( ) ( )kf t f t t d f k t k?? ? ? ? ? ? ????? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? 上式表明 ,任意信號 f(t)可以分解為無限多個沖激序列的疊加 。 不同的信號 f(t)只是沖激信號δ(t kΔτ) 前的系數(shù) f(kΔτ) 不同 (系數(shù)亦即是該沖激信號的強度 )。 這樣 ， 任一信號 f(t)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應 yf(t)可由諸 δ(t kΔτ) 產(chǎn)生的響應疊加而成 。 ， 若系統(tǒng)的沖激響應為 h(t)， 則有下列關系式成立 。 00( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) li m ( ) ( ) ( ) ( )( ) li m ( ) ( )kkkfkt h tt k h t kf k t k f k h t kf k t k f k h t kf t f k t
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