線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)卷積積分-全文預(yù)覽
【正文】 ?? ? ??? ? ? ? ??????故式在 Δτ→ 0時 ， 有 卷積積分法求解零狀態(tài)響應(yīng) 在求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) yf(t)時 ， 將任意信號 f(t)都分解為沖激信號序列 ， 然后充分利用線性非時變系統(tǒng)的特性 ， 從而解得系統(tǒng)在任意信號 f(t)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。 信號分解為沖激序列 從上圖可見 ， 將任意信號 f(t)分解成許多小矩形 ， 間隔為 Δτ ， 各矩形的高度就是信號 f(t)在該點的函數(shù)值 。 階躍響應(yīng)是激勵為單位階躍函數(shù) u(t)時 ， 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) ， 如圖 。 解 沖激響應(yīng) h(t)滿足動態(tài)方程式 h′ (t)+3h(t)=2δ(t)t≥ 0 由于動態(tài)方程式右邊最高次為 δ(t) ， 故方程左邊的最高次 h′ (t)中必含有 δ(t) ， 故設(shè) h′ (t)=Aδ(t)+Bu(t) 因而有 h(t)=Au(t) 將 h′ (t)與 h(t)分別代入原動態(tài)方程有 Aδ(t)+Bu(t)+ 3Au(t)=2δ(t) Aδ(t)+(B+3A)u(t)=2δ(t) A=2， B=6 3. 系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)反映的是系統(tǒng)的特性 ， 只與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān) ， 而與系統(tǒng)的外部激勵無關(guān) 。這樣沖激響應(yīng) h(t)必為 Aeλtu(t)的形式 。 沖激響應(yīng)示意圖 0 t? ? ( t )( 1 )線性非時變系統(tǒng)? ? ( t ) h ( t ){ ( 0 ) } ＝ { 0 }th ( t )0 沖激平衡法是指為保持系統(tǒng)對應(yīng)的動態(tài)方程式的恒等 ， 方程式兩邊所具有的沖激信號函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)必須相等 。 這就是動態(tài)電路中的換路定理 。 若其特征根全為單根 ， 則其零輸入響應(yīng) 式中 cxi為待定常數(shù) 。選定特解后，將它代入到原微分方程，求出其待定系數(shù) Pi，就可得出特解。 jb， 則微分方程的齊次解 yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt (4) 特征根有一對 m 重復(fù)根 。即有 y(t)=yh(t)+yp(t) 1. 齊次解滿足齊次微分方程 y(n)(t)+a n1 y(n1)(t)+… +a1y(1)(t)+a0y(t)=0 由高等數(shù)學(xué)經(jīng)典理論知 ， 該齊次微分方程的特征方程為 λn+a n1λn 1+… +a1λ+a 0=0 (1)特征根均為單根 。 微分方程的經(jīng)典解 我們將上面兩個例子推廣到一般 ， 如果單輸入 、 單輸出線性非時變的激勵為 f(t)， 其全響應(yīng)為 y(t)， 則描述線性非時變系統(tǒng)的激勵 f(t)與響應(yīng) y(t)之間關(guān)系的是 n階常系數(shù)線性微分方程 ， 它可寫為 y(n)(t)+a n1 y(n1)(t)+… +a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm1 f (m1)(t)+… +b1f(1)(t)+b0f(t) 式中 an1， … ， a1， a0和 bm， bm1， … ， b1， b0均為常數(shù)。 例 2― 1 圖 ， 輸入激勵是電流源 iS(t),試列出電流 iL(t)及 R1 u1(t) 為輸出響應(yīng)變量的方程式 。?線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng) ?沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) ?卷積積分 第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng) 系統(tǒng)的描述 描述線性非時變連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)微分方程 。iR(t)； (2)電感 L， (3)電容 C， (4)互感 (同、異名端連接 )、理想變壓器等原、副邊電 00( ) 1( ) , ( ) ( )tLL L L Ltd i tu t L i i t u dd t L ??? ? ? ?00( ) 1( ) , ( ) ( ) ( )tCC C C Ctd u ti t C u t u t i dd t C ??? ? ? ? 2. 結(jié)構(gòu)約束 KCL與 KVL 下面舉例說明。 這表明，同一系統(tǒng)當(dāng)它的元件參數(shù)確定不變時，它的自由頻率是唯一的。非齊次方程的特解用 yp(t)表示。 即 λ 1, 2=a177。下表列出了幾種類型的激勵函數(shù) f(t)及其所對應(yīng)的特征解 yp(t)。 這樣 ， 線性非時變系統(tǒng)的全響應(yīng)將是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和 ， 即 y(t)=yx(t)+yf(t) 在零輸入條件下 ， 式 (2― 7)等式右端均為零 ， 化為齊次方程 。 系統(tǒng)的完全響應(yīng)即可分解為自由響應(yīng)和強迫響應(yīng) ，也可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) ， 它們的關(guān)系為 ： 1 1 1( ) ( ) ( )i i in n nt t ti p xi f i pi i iy t c e y t c e c e y t? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?式中 1 1 1i i in n nt t ti xi f ii i ic e c e c e? ? ?? ? ???? ? ? 在電路分析中 ， 為確定初始條件 ， 常常利用系統(tǒng)內(nèi)部儲能的連續(xù)性 ， 即電容上電荷的連續(xù)性和電感中磁鏈的連續(xù)性 。 其示意圖如下圖所示 。 解 根據(jù)系統(tǒng)沖激響應(yīng) h(t)的定義 ， 當(dāng) f(t)=δ(t) 時 ，即為 h(t)， 即原動態(tài)方程式為
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