線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)卷積積分(存儲(chǔ)版)
【正文】 f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(t)=f(1)(t)*h′(t)=f′(t)*h(1)(t) 證明卷積微分特性 ， 有 y′(t)=f′(t)*h(t)=h′(t)*f(t) 將上式對(duì)時(shí)間 t積分，即可證明式 y(t)=f(1)(t)*h′(t)=f′(t)*h(1)(t) 上式說(shuō)明 ， 通過(guò)激勵(lì)信號(hào) f(t)的導(dǎo)數(shù)與沖激響應(yīng) h(t)的積分的卷積 ， 或激勵(lì)信號(hào) f(t)的積分與沖激響應(yīng) h(t)的導(dǎo)數(shù)的卷積 ， 同樣可以求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 。 如果一個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為階躍信號(hào) u(t)， 則此系統(tǒng)稱為積分器 ， 如下圖所示 。 下面通過(guò)例題來(lái)介紹圖解卷積的具體步驟 。 按此過(guò)程 ， 隨著參變量 t的不斷增加 ， f(τ) 與h(tτ) 的重疊面積隨之而不斷變化 ， 用相應(yīng)的矩形面積近似代表 f(τ) 因此有必要在時(shí)域中進(jìn)行近似的數(shù)值計(jì)算 。 卷積積分常用公式表 2. 圖解計(jì)算 對(duì)于一些較簡(jiǎn)單的函數(shù)符號(hào) ， 如方波 、 三角波等 ，可以利用圖解方式來(lái)計(jì)算 。 如果一個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為沖激偶信號(hào) δ ′(t)，則此系統(tǒng)稱為微分器，如下圖所示。 可引入新積分變量x=λ+τ ， 則有 τ=x λ,dτ=dx 。 不同的信號(hào) f(t)只是沖激信號(hào)δ(t kΔτ) 前的系數(shù) f(kΔτ) 不同 (系數(shù)亦即是該沖激信號(hào)的強(qiáng)度 )。 這樣 ， 對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)的分析就變?yōu)閷?duì)基本信號(hào)的分析 ， 從而將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化 ， 且可以使信號(hào)與系統(tǒng)分析的物理過(guò)程更加清晰 。 沖激響應(yīng) h(t)是系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下 ， 受單位沖激信號(hào) δ(t) 激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng) ， 它屬于零狀態(tài)響應(yīng) 。 亦即 ， 沖激響應(yīng)是激勵(lì)為單位沖激信號(hào) δ(t) 時(shí) ， 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 。 零輸入響應(yīng)是激勵(lì)為零時(shí)僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài) {x(0)}所引起的響應(yīng) ，用 yx(t)表示；零狀態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零 (即系統(tǒng)的初始儲(chǔ)能為零 )時(shí) ， 僅由輸入信號(hào)所引起的響應(yīng) ， 用 yf(t)表示 。 若 λ 1是特征方程的 γ 重根 ，即有 λ 1=λ 2=λ 3=… =λγ ， 而其余 (nγ) 個(gè)根λγ+ 1， λγ+ 2， … ， λn 都是單根 ， 則微分方程的齊次解 1() inthiiy t c e ??? ?1() jntihiiy t c t e ?? ??? ? (3)特征根有一對(duì)單復(fù)根 。 (2)輸出響應(yīng)無(wú)論是 iL(t)、 u1(t)， 或是 uC(t)、 i1(t)，還是其它別的變量 ， 它們的齊次方程都相同 。 對(duì)于電系統(tǒng) ， 列寫數(shù)學(xué)模型的基本依據(jù)有如下兩方面 。該方程的全解由齊次解和特解組成。 即共有 m 重λ 1,2=a177。 若系統(tǒng)的初始儲(chǔ)能為零 ， 亦即初始狀態(tài)為零 ， 這時(shí)式 (2― 7)仍為非齊次方程 。 根據(jù)此規(guī)則即可求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)。 但系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)可以由沖激信號(hào) δ(t)作用于系統(tǒng)而求得 。 根據(jù)函數(shù)積分原理 ， 當(dāng) Δτ 很小時(shí) ， 可以用這些小矩形的頂端構(gòu)成階梯信號(hào)來(lái)近似表示信號(hào) f(t)；而當(dāng) Δτ→ 0時(shí) ， 可以用這些小矩形來(lái)精確表達(dá)信號(hào) f(t)。 00( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) li m ( ) ( ) ( ) ( )( ) li m ( ) ( )kkkfkt h tt k h t kf k t k f k h t kf k t k f k h t kf t f k t k f t t dy t f k h t k???? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ?? ? ????????? ???????? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ?? ( ) ( )f t h t d????? 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) yf(t)為輸入激勵(lì) f(t)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)的卷積積分 ， 為 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fy t f t h t d f t h t?????? ? ? ?? 1. 卷積積分是一種線性運(yùn)算 ， 它具有以下基本特征 。 這一關(guān)系為計(jì)算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)提供了一條新途徑 。 ( 1 )( ) ( ) ( ) ( )tf t u t f t f d?????? ? ? ?積分器及其沖激響應(yīng) f ( t ) y ( t ) ＝ f ( － 1)( t )0 th ( t )( a ) ( b )1? 參與卷積的兩個(gè)信號(hào) f1(t)與 f2(t)都可以用解析函數(shù)式表達(dá)，可以直接按照卷積的積分定義進(jìn)行計(jì)算。 例： 已知 分別如下圖 (a)， (b)所示。h(tτ) 的積分 。 有時(shí)激勵(lì)信號(hào)不能用基本函數(shù)來(lái)表示 ， 可能只是一條曲線或者一組測(cè)試數(shù)據(jù) 。 當(dāng)然 ， 在利用解析式進(jìn)行求解信號(hào)卷積時(shí) ， 可以利用卷積的一些特性來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算 。 理想放大器及其沖激響應(yīng) f ( t ) y ( t ) ＝ k f ( t )0 t( k )h ( t )( a ) ( b )2) f(t)*δ′(t)=f′(t) 即 ， 任意信號(hào) f(t)與沖激偶信號(hào) δ ′(t)卷積 ， 其結(jié)果為信號(hào)f(t)的一階導(dǎo)數(shù) 。 卷積分配律示意圖 h ( t )∑h ( t )h ( t )∑f1( t )f2( t )f1( t )f2( t )y ( t )y ( t )3) 設(shè)有 u(t)， v(t)， w(t)三函數(shù) ， 則有 u(t)*(v(t)*w(t))=(u(t)*v(t))*w(t) ( ) ( )
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