線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)卷積積分(存儲版)
【正文】 f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(t)=f(1)(t)*h′(t)=f′(t)*h(1)(t) 證明卷積微分特性 ， 有 y′(t)=f′(t)*h(t)=h′(t)*f(t) 將上式對時間 t積分，即可證明式 y(t)=f(1)(t)*h′(t)=f′(t)*h(1)(t) 上式說明 ， 通過激勵信號 f(t)的導(dǎo)數(shù)與沖激響應(yīng) h(t)的積分的卷積 ， 或激勵信號 f(t)的積分與沖激響應(yīng) h(t)的導(dǎo)數(shù)的卷積 ， 同樣可以求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 。 如果一個系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為階躍信號 u(t)， 則此系統(tǒng)稱為積分器 ， 如下圖所示 。 下面通過例題來介紹圖解卷積的具體步驟 。 按此過程 ， 隨著參變量 t的不斷增加 ， f(τ) 與h(tτ) 的重疊面積隨之而不斷變化 ， 用相應(yīng)的矩形面積近似代表 f(τ) 因此有必要在時域中進(jìn)行近似的數(shù)值計(jì)算 。 卷積積分常用公式表 2. 圖解計(jì)算 對于一些較簡單的函數(shù)符號 ， 如方波 、 三角波等 ，可以利用圖解方式來計(jì)算 。 如果一個系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為沖激偶信號 δ ′(t)，則此系統(tǒng)稱為微分器，如下圖所示。 可引入新積分變量x=λ+τ ， 則有 τ=x λ,dτ=dx 。 不同的信號 f(t)只是沖激信號δ(t kΔτ) 前的系數(shù) f(kΔτ) 不同 (系數(shù)亦即是該沖激信號的強(qiáng)度 )。 這樣 ， 對信號與系統(tǒng)的分析就變?yōu)閷拘盘柕姆治?， 從而將復(fù)雜問題簡單化 ， 且可以使信號與系統(tǒng)分析的物理過程更加清晰 。 沖激響應(yīng) h(t)是系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下 ， 受單位沖激信號 δ(t) 激勵所產(chǎn)生的響應(yīng) ， 它屬于零狀態(tài)響應(yīng) 。 亦即 ， 沖激響應(yīng)是激勵為單位沖激信號 δ(t) 時 ， 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 。 零輸入響應(yīng)是激勵為零時僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài) {x(0)}所引起的響應(yīng) ，用 yx(t)表示；零狀態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零 (即系統(tǒng)的初始儲能為零 )時 ， 僅由輸入信號所引起的響應(yīng) ， 用 yf(t)表示 。 若 λ 1是特征方程的 γ 重根 ，即有 λ 1=λ 2=λ 3=… =λγ ， 而其余 (nγ) 個根λγ+ 1， λγ+ 2， … ， λn 都是單根 ， 則微分方程的齊次解 1() inthiiy t c e ??? ?1() jntihiiy t c t e ?? ??? ? (3)特征根有一對單復(fù)根 。 (2)輸出響應(yīng)無論是 iL(t)、 u1(t)， 或是 uC(t)、 i1(t)，還是其它別的變量 ， 它們的齊次方程都相同 。 對于電系統(tǒng) ， 列寫數(shù)學(xué)模型的基本依據(jù)有如下兩方面 。該方程的全解由齊次解和特解組成。 即共有 m 重λ 1,2=a177。 若系統(tǒng)的初始儲能為零 ， 亦即初始狀態(tài)為零 ， 這時式 (2― 7)仍為非齊次方程 。 根據(jù)此規(guī)則即可求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)。 但系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)可以由沖激信號 δ(t)作用于系統(tǒng)而求得 。 根據(jù)函數(shù)積分原理 ， 當(dāng) Δτ 很小時 ， 可以用這些小矩形的頂端構(gòu)成階梯信號來近似表示信號 f(t)；而當(dāng) Δτ→ 0時 ， 可以用這些小矩形來精確表達(dá)信號 f(t)。 00( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) li m ( ) ( ) ( ) ( )( ) li m ( ) ( )kkkfkt h tt k h t kf k t k f k h t kf k t k f k h t kf t f k t k f t t dy t f k h t k???? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ?? ? ????????? ???????? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ?? ( ) ( )f t h t d????? 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) yf(t)為輸入激勵 f(t)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)的卷積積分 ， 為 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fy t f t h t d f t h t?????? ? ? ?? 1. 卷積積分是一種線性運(yùn)算 ， 它具有以下基本特征 。 這一關(guān)系為計(jì)算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)提供了一條新途徑 。 ( 1 )( ) ( ) ( ) ( )tf t u t f t f d?????? ? ? ?積分器及其沖激響應(yīng) f ( t ) y ( t ) ＝ f ( － 1)( t )0 th ( t )( a ) ( b )1? 參與卷積的兩個信號 f1(t)與 f2(t)都可以用解析函數(shù)式表達(dá)，可以直接按照卷積的積分定義進(jìn)行計(jì)算。 例： 已知 分別如下圖 (a)， (b)所示。h(tτ) 的積分 。 有時激勵信號不能用基本函數(shù)來表示 ， 可能只是一條曲線或者一組測試數(shù)據(jù) 。 當(dāng)然 ， 在利用解析式進(jìn)行求解信號卷積時 ， 可以利用卷積的一些特性來簡化運(yùn)算 。 理想放大器及其沖激響應(yīng) f ( t ) y ( t ) ＝ k f ( t )0 t( k )h ( t )( a ) ( b )2) f(t)*δ′(t)=f′(t) 即 ， 任意信號 f(t)與沖激偶信號 δ ′(t)卷積 ， 其結(jié)果為信號f(t)的一階導(dǎo)數(shù) 。 卷積分配律示意圖 h ( t )∑h ( t )h ( t )∑f1( t )f2( t )f1( t )f2( t )y ( t )y ( t )3) 設(shè)有 u(t)， v(t)， w(t)三函數(shù) ， 則有 u(t)*(v(t)*w(t))=(u(t)*v(t))*w(t) ( ) ( )
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