線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)卷積積分-文庫吧
2025-07-29 08:09 本頁面
【正文】 特解后，將它代入到原微分方程，求出其待定系數(shù) Pi，就可得出特解。 激勵函數(shù)及所對應(yīng)的解 3. 根據(jù)上節(jié)所講 ， 完全解是齊次解與特解之和 ， 如果微分方程的特征根全為單根 ， 則微分方程的全解為 1( ) ( )intipiy t c e y t????? 當特征根中 λ 1為 γ 重根 ， 而其余 (nγ) 個根均為單根時 ， 方程的全解為 111( ) ( )int ti i pijy t c t e c e j y t??????? ? ?? ? ??? 如果微分方程的特征根都是單根 ， 則方程的完全解為上式 ， 將給定的初始條件分別代入到式上及其各階導數(shù) ， 可得方程組 y(0)=c1+c2+…++yp(0) y′(0)=λ1c1+λ2c2+…+λn+y′p(0) … y(n1)(0)=λn1 1c1+ λn1 2c2+…+λn1 n+y(n1)p(0) 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 線性非時變系統(tǒng)的完全響應(yīng)也可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 。 零輸入響應(yīng)是激勵為零時僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài) {x(0)}所引起的響應(yīng) ，用 yx(t)表示；零狀態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零 (即系統(tǒng)的初始儲能為零 )時 ， 僅由輸入信號所引起的響應(yīng) ， 用 yf(t)表示 。 這樣 ， 線性非時變系統(tǒng)的全響應(yīng)將是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和 ， 即 y(t)=yx(t)+yf(t) 在零輸入條件下 ， 式 (2― 7)等式右端均為零 ， 化為齊次方程 。 若其特征根全為單根 ， 則其零輸入響應(yīng) 式中 cxi為待定常數(shù) 。 若系統(tǒng)的初始儲能為零 ， 亦即初始狀態(tài)為零 ， 這時式 (2― 7)仍為非齊次方程 。 若其特征根均為單根 ， 則其零狀態(tài)響應(yīng) 1() intx xiiy t c e ??? ?1( ) ( )intf f i piy t c e y t????? 式中 cfi為待定常數(shù) 。 系統(tǒng)的完全響應(yīng)即可分解為自由響應(yīng)和強迫響應(yīng) ，也可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) ， 它們的關(guān)系為 ： 1 1 1( ) ( ) ( )i i in n nt t ti p xi f i pi i iy t c e y t c e c e y t? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?式中 1 1 1i i in n nt t ti xi f ii i ic e c e c e? ? ?? ? ???? ? ? 在電路分析中 ， 為確定初始條件 ， 常常利用系統(tǒng)內(nèi)部儲能的連續(xù)性 ， 即電容上電荷的連續(xù)性和電感中磁鏈的連續(xù)性 。 這就是動態(tài)電路中的換路定理 。 若換路發(fā)生在 t=t0時刻 ， 有 0000( ) ( )( ) ( )CCCLu t u ti t i t????? ???? 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 沖激響應(yīng) 一線性非時變系統(tǒng) ， 當其初始狀態(tài)為零時 ， 輸入為單位沖激信號 δ(t) 所引起的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng) ， 簡稱沖激響應(yīng) ， 用 h(t)表示 。 亦即 ， 沖激響應(yīng)是激勵為單位沖激信號 δ(t) 時 ， 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 。 其示意圖如下圖所示 。 沖激響應(yīng)示意圖 0 t? ? ( t )( 1 )線性非時變系統(tǒng)? ? ( t ) h ( t ){ ( 0 ) } ＝ { 0 }th ( t )0 沖激平衡法是指為保持系統(tǒng)對應(yīng)的動態(tài)方程式的恒等 ， 方程式兩邊所具有的沖激信號函數(shù)及其各階導數(shù)必須相等 。 根據(jù)此規(guī)則即可求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)。 例： 已知某線性非時變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為 () 3 ( ) 2 ( ) ( 0 )d y t y t f t tdt ? ? ?試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)。 解 根據(jù)系統(tǒng)沖激響應(yīng) h(t)的定義 ， 當 f(t)=δ(t) 時 ，即為 h(t)， 即原動態(tài)方程式為 由于動態(tài)方程式右側(cè)存在沖激信號 δ(t) ， 為了保持動態(tài)方程式的左右平衡 ， 等式左側(cè)也必須含有 δ(t) 。這樣沖激響應(yīng) h(t)必為 Aeλtu(t)的形式 。 考慮到該動態(tài)方程的特征方程為 () 3 ( ) 2 ( ) ( 0 )d h t h t t tdt ?? ? ?30? ?? 特征根 λ 1=3， 因此可設(shè) h(t)=Ae3tu(t)， 式中 A為待定系數(shù) ， 將 h(t)代入原方程式有 333 3 3[ ( ) ] 3 ( ) 2 ( )( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( )( ) 2 ( )ttt t tdA e u t A e u t tdtA e t A e u t A e u t tA t t???????? ? ???? ? ??即 解得 A=2， 因此 ， 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 3( ) 2 ( )th t e u t?? 求導后 ， 對含有 δ(t) 的項利用沖激信號 δ(t) 的取 樣特性進行化簡 ， 即 [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 0) ( )df t g t f t g t f t g tdtf t g t f t???? ? ?? 系統(tǒng)沖激響應(yīng) h(t)的求解還有另一種方法 ， 稱為等效初始條件法 。 沖激響應(yīng) h(t)是系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下 ， 受單位沖激信號 δ(t) 激勵所產(chǎn)生的響應(yīng) ， 它屬于零狀態(tài)響應(yīng) 。 例： 已知某線性非時變 (LTI)系統(tǒng)的動態(tài)方程式為 y′ (t)+3y
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