線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)卷積積分-免費(fèi)閱讀
【正文】 若兩個信號 f(t)與 h(t)都是有始單邊信號 ， 則有 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )ty t f t h t f h t d? ? ?? ? ? ??卷積的數(shù)值計算示意圖 卷積積分值可以近似地用兩塊矩形面積 (f0h2+f1h1)T來表示 。 而且 ， 熟練掌握圖解卷積的方法 ， 對理解卷積的運(yùn)算過程是有幫助的 。 微分器及其沖激響應(yīng) f ( t ) y ( t ) ＝ f ( t )0 t( 1 )h ( t )( a ) ( b )′tdd( － 1 )3) 積分特性 即 ， 任意信號 f(t)與階躍信號 u(t)卷積 ， 其結(jié)果為信號 f(t)本身對時間的積分 。 將這些關(guān)系代入上式右邊括號內(nèi) ， 則有 ( ) ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ) )u t v t t u v t d d? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ???交換積分次序 ， 并根據(jù)卷積定義 ， 即可得 ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) )( ( ) ( ) ) ( )( ( ) ( ) ) ( )u t v t t u v t d du t v t t x dxu t v t t? ? ? ? ? ? ? ??????? ?????? ? ? ? ?? ? ?? ? ????4)卷積的微分特性 設(shè) y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) y′(t)=f′(t)*h(t)=h′(t)*f(t) 證明 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )ddy t f h t ddt dtf h t df t h t? ? ?? ? ????????????????5) 卷積的積分特性 設(shè) y(t)=y(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(1)(t)=f(1)(t)*h(t)=h(1)(t)*f(t) 式中 y(1)(t)， f(1)(t)及 h(1)(t)分別表示 y(t)， f(t)及 h(t)對時間 t的一次積分 。 這樣 ， 任一信號 f(t)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng) yf(t)可由諸 δ(t kΔτ) 產(chǎn)生的響應(yīng)疊加而成 。 信號分解為沖激信號序列就是其中的一個實例 。 例： 已知某線性非時變 (LTI)系統(tǒng)的動態(tài)方程式為 y′ (t)+3y(t)=2f(t)t≥ 0 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)。 其示意圖如下圖所示 。 這樣 ， 線性非時變系統(tǒng)的全響應(yīng)將是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和 ， 即 y(t)=yx(t)+yf(t) 在零輸入條件下 ， 式 (2― 7)等式右端均為零 ， 化為齊次方程 。 即 λ 1, 2=a177。 這表明，同一系統(tǒng)當(dāng)它的元件參數(shù)確定不變時，它的自由頻率是唯一的。?線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng) ?沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) ?卷積積分 第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng) 系統(tǒng)的描述 描述線性非時變連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)微分方程 。 微分方程的經(jīng)典解 我們將上面兩個例子推廣到一般 ， 如果單輸入 、 單輸出線性非時變的激勵為 f(t)， 其全響應(yīng)為 y(t)， 則描述線性非時變系統(tǒng)的激勵 f(t)與響應(yīng) y(t)之間關(guān)系的是 n階常系數(shù)線性微分方程 ， 它可寫為 y(n)(t)+a n1 y(n1)(t)+… +a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm1 f (m1)(t)+… +b1f(1)(t)+b0f(t) 式中 an1， … ， a1， a0和 bm， bm1， … ， b1， b0均為常數(shù)。 jb， 則微分方程的齊次解 yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt (4) 特征根有一對 m 重復(fù)根 。 若其特征根全為單根 ， 則其零輸入響應(yīng) 式中 cxi為待定常數(shù) 。 沖激響應(yīng)示意圖 0 t? ? ( t )( 1 )線性非時變系統(tǒng)? ? ( t ) h ( t ){ ( 0 ) } ＝ { 0 }th ( t )0 沖激平衡法是指為保持系統(tǒng)對應(yīng)的動態(tài)方程式的恒等 ， 方程式兩邊所具有的沖激信號函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)必須相等 。 解 沖激響應(yīng) h(t)滿足動態(tài)方程式 h′ (t)+3h(t)=2δ(t)t≥ 0 由于動態(tài)方程式右邊最高次為 δ(t) ， 故方程左邊的最高次 h′ (t)中必含有 δ(t) ， 故設(shè) h′ (t)=Aδ(t)+Bu(t) 因而有 h(t)=Au(t) 將 h′ (t)與 h(t)分別代入原動態(tài)方程有 Aδ(t)+Bu(t)+ 3Au(t)=2δ(t) Aδ(t)+(B+3A)u(t)=2δ(t) A=2， B=6 3. 系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)反映的是系統(tǒng)的特性 ， 只與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān) ， 而與系統(tǒng)的外部激勵無關(guān) 。 信號分解為沖激序列 從上圖可見 ， 將任意信號 f(t)分解成許多小矩形 ， 間隔為 Δτ ， 各矩形的高度就是信號 f(t)在該點(diǎn)的函數(shù)值 。 ， 若系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)， 則有下列關(guān)系式成立 。 6) 卷積的等效特性 設(shè) y(t)=
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