【正文】 零阻尼 /無阻尼）一對共軛純虛根 n?1p2p n??21 , 221 , 2 1 1 0 1nnnnppj ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??（ 1（））或 特征根位于 s平面的右半部。 （ 5） ξ 0（負(fù)阻尼）兩根實(shí)部為正 21n???n???1p2p1p 2p例 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 21 , 2 1 nnpj ? ? ? ?? ? ? ?（ 1） 0ξ1（欠阻尼）一對實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根 2222 2 2 2 2 21( ) ( ) ( )21 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )noinnnnn n n nX s s X ss s sss ss?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ?? ? ? ? ? ?)s i n1( c os1)(20ttetx ddtn ?????????? ?將二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)分為下列五種情況分別計算： 欠阻尼、臨界阻尼、過阻尼、零阻尼、負(fù)阻尼 22 1s i n 1 c o s a r c t a n ?? ? ? ? ???? ? ? ?令 0 2( ) 1 s in ( )1n tdex t t??????? ? ??21 ??? ?? nd — 阻尼自振角頻率 特點(diǎn)： （ 1） 無穩(wěn)態(tài)誤差； （ 2） 呈現(xiàn)出以 ωd為角頻率的衰減振蕩 ，衰減的快慢由 ξ和 ωn決定； （ 3） 振幅隨 ξ減小而加大 。 （查表法） 1, 2 np ???（ 2） ξ=1（臨界阻尼）兩相等的負(fù)實(shí)根 ? ?22222()()( ) 2o n ni n n nXssX s s s s??? ? ? ?? ? ? ??? ?? ?? ?20 221( ) ( ) ( )11 ninnn nX s s X sssss s???? ??? ? ??? ? ?? ?)0(1)( ???? ?? tetetx ttno nn ???)1(1 te ntn ?? ??? ?特點(diǎn)：單調(diào)上升，無振蕩，無超調(diào)，無穩(wěn)態(tài)誤。 ( ) 1 ( 1 )n tonx t e t? ??? ? ?1 , 22 1nnp ? ? ? ??? ??（ 3） ξ1（過阻尼）兩不相等的負(fù)實(shí)根 222()( 1 ) ( 1 )nn n n nsss?? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?2 2 2 2222112 ( 1 1 ) 2 ( 1 1 )22( 1 ) ( 1 )1()1 11nn n n non n n nssXsss ss? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?22( 1 )22( 1 )221( ) 12( 1 1 )1 2( 1 1 ) ( 0 )nntotx t ee t? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ??? ? ? ??特點(diǎn)：單調(diào)上升 ，無振蕩 ， 過渡過程時間長 ， 無穩(wěn)態(tài)誤差 。 1 , 2 npj ???（ 4） ξ=0（零阻尼）一對共軛純虛根 2 22 2 2 2()()( ) 2oni n nXssX s s s s? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?20 2 2 2 211( ) ( ) ( ) ninnsX s s X ss s s s???? ? ? ? ? ???0 ( ) 1 c o s nx t t???0 ( ) 1 c o s nx t t???特點(diǎn)：零阻尼的等幅振蕩， 振蕩頻率為 ωn。 ωn— 無阻尼固有頻率 21 , 221 , 2 1 1 0 1nnnnppj ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??（ 1（））或 （ 5） ξ0（負(fù)阻尼）兩根實(shí)部為正 0 2 0( ) 1 ( c o s s i n ) 1n tddx t e t t?? ?????? ?? ? ??（ 1 ）22( 1 )22( 1 )2211( ) 12 ( 1 1 )1 2 ( 1 1 ) nntotx t ee? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?????? ? ? ??? ? ? ?（ ）正 正 正 1ξ 0， 振蕩發(fā)散 ξ 1， 單調(diào)發(fā)散 上述五種情況分別稱為二階 零阻尼 、 欠阻尼 、臨界阻尼 、 過阻尼系統(tǒng)和負(fù)阻尼 。 其阻尼系數(shù) 、 特征根 、 極點(diǎn)分布和單位階躍響應(yīng)如下表所示： 單位階躍響應(yīng) 極點(diǎn)位置 特征根 阻尼系數(shù) 單調(diào)上升 兩個互異負(fù)實(shí)根 單調(diào)上升 一對負(fù)實(shí)重根 衰減振蕩 一對共軛復(fù)根 (左半平面） 等幅周期振蕩 一對共軛虛根 無阻尼,0??njs ???2,1欠阻尼,1?? ?o 22,1 1 ???? ???? nn js臨界阻尼，1?? )(2,1 重根ns ???過阻尼，1?? 122,1 ??? ???? nns ?發(fā)散振蕩 一對共軛復(fù)根 (右半平面） 1 0 ,?? ? ? 負(fù) 阻 尼 22,1 1 ???? ???? nn js單調(diào)發(fā)散 兩個互異正實(shí)根 1? ?? ， 負(fù) 阻 尼 122,1 ??? ???? nns ?0 20 ( ) 1 ( c o s s i n )1n tddx t e t t??? ?????? ? ? ??（ 1 ）正 22( 1 )22( 1 )221 1( ) 12 ( 1 1 )1 2 ( 1 1 ) nntotx t ee? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? ?（ ）正 正 0( 0) ( ) 1 c o s nx t t??? ? ?22( 1 )22( 1 )221 1( ) 12 ( 1 1 )1 2 ( 1 1 ) nntotx t ee? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ??? ? ? ??? ? ? ?（ ）負(fù) 負(fù) ( 1 ) ( ) 1 ( 1 )n tonx t e t??? ?? ? ? ?201 s in ( )1( 0 1 ) ( )n tde txt ?? ????????? ? ?結(jié)論 : ① 二階系統(tǒng)的阻尼比 ξ決定了其振蕩特性 ?ξ0時 ， 階躍響應(yīng)發(fā)散 ，統(tǒng)不穩(wěn)定 。 ?ξ=0時 ， 等幅振蕩 。 ?0ξ1時 ， 有振蕩 ， ξ愈小 ， 振蕩愈嚴(yán)重 ， 但響應(yīng)愈快 。 ?ξ≥1時 ， 無振蕩 、 無超調(diào) ，過渡過程長 。 ② ξ 一定時， ω n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速， ?系統(tǒng)能夠更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)的快速性越好。 201 s in ( )1( 0 1 ) ( )n tde txt ?? ????????? ? ?③ 工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應(yīng)用，如指示和記錄儀表系統(tǒng)等，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在 ~，使系統(tǒng)有比較理想的響應(yīng)曲線，瞬態(tài)響應(yīng)時間短，且系統(tǒng)振蕩適度。以保證系統(tǒng)的快速性同時又不至于產(chǎn)生過大的振蕩。 ζ≈ 時調(diào)節(jié)時間最短，稱為 最佳阻尼比 。 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 阻尼系數(shù) 時 間 響 應(yīng) 函 數(shù)（ t ≥0） 無阻尼,0??欠阻尼,1?? ?o臨界阻尼，1??過阻尼，1??2( ) s i n1n tno dx t e t??? ?????2() nn to tx t e ?? ??22))( 1 ( 12 ()21()nnttnox t e e? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ? ttx nno ?? s in?特點(diǎn)： （ 1）衰減振蕩。 （ 2）隨著阻尼比的減小，振蕩幅度加大。 欠阻尼,1?? ?o2( ) s i n1n tno dx t e t??? ?????臨界阻尼，1?? 2() nn to tx t e ?? ??過阻尼，1?? 22))( 1 ( 12()21() nnttnox t e e? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????例 二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 阻尼系數(shù) 時 間 響 應(yīng) 函 數(shù)（ t ≥0） 無阻尼,0??欠阻尼,1?? ?o臨界阻尼，1??過阻尼，1??01( ) s i nnnx t t t????22212 )21( ) s in ( a r c ta nnnto ddex t t t?? ????? ??? ?? ?? ? ?22() nnnntto tx t t e e??????????2222)222)2(1(12 2 1 12212 2 1 1 21() nnn nntotx t t ee? ? ?? ? ?? ? ??? ??? ? ???? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?????欠阻尼,1?? ?o 22212 )21( ) s in ( a r c ta nnnto ddex t t t?? ????? ??? ?? ?? ? ?2( ) ( ) ( ) ( ) i o s sne t x t x t t e e ??? ? ? ? ? ? ?， ，誤差計算： 輸入為斜坡函數(shù)時 , 二階欠阻尼系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差 。 臨界阻尼，1?? 22() nnnntto tx t t e e??????????2( ) ( ) ( ) ( ) i o s sne t x t x t t e e ?? ? ? ? ? ? ?， ，誤差計算： 輸入為斜坡函數(shù)時 , 二階臨界阻尼系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差 。 過阻尼，1??2222)222)2(1(12 2 1 12212 2 1 1 21() nnn nntotx t t ee? ? ?? ? ?? ? ??? ??? ? ???? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?????2( ) ( ) ( ) ( ) i o s sne t x t x t t e e ??? ? ? ? ? ? ?， ，誤差計算： 輸入為斜坡函數(shù)時 , 二階過阻尼系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差 。 《 控制工程基礎(chǔ) 》 第 5章 控制系統(tǒng)的 時間響應(yīng) 高階系統(tǒng)的時間響應(yīng) 高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 一般的高階機(jī)電系統(tǒng)可以分解成若干一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的疊加 。 其瞬態(tài)響應(yīng)即是由這些一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)函數(shù)疊加組成 。 對于一般單輸入 、 單輸出的線性定常系統(tǒng) ，其傳遞函數(shù)可表示為 ? ?? ?