線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)卷積積分(文件)
【正文】 (t)。 沖激響應(yīng) h(t)是系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下 ， 受單位沖激信號(hào) δ(t) 激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng) ， 它屬于零狀態(tài)響應(yīng) 。 在以上兩種求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的過(guò)程中 ， 都是已知系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程 。 這樣 ， 對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)的分析就變?yōu)閷?duì)基本信號(hào)的分析 ， 從而將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化 ， 且可以使信號(hào)與系統(tǒng)分析的物理過(guò)程更加清晰 。 即 ( ) ( 0 ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( 2 ) )( ) ( ( ) ( ) )( ( ) ( ) ) ( ) ( 2 )( 0 ) ( )( ( ) ( ) )()((()kf t f u t u t f u t u tf k u t k u t ku t u t u t u tffu t k u t kfkutfk? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ???? ? ??????? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??????) ( ) )k u t k? ? ???? ? ? ? ? ??? 上式只是近似表示信號(hào) f(t),且 Δτ 越小 ， 其誤差越小 。 不同的信號(hào) f(t)只是沖激信號(hào)δ(t kΔτ) 前的系數(shù) f(kΔτ) 不同 (系數(shù)亦即是該沖激信號(hào)的強(qiáng)度 )。 1)交換律 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f t h t h t f tf h t d f h t d? ? ? ? ? ????? ??? ? ?? ? ? ? ??? 由上式說(shuō)明兩信號(hào)的卷積積分與次序無(wú)關(guān) 。 可引入新積分變量x=λ+τ ， 則有 τ=x λ,dτ=dx 。 上述性質(zhì) 4)、 5)、 6)可以進(jìn)一步推廣 ， 其一般形式如下： y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(i+j)(t)=f(i)(t)*h(j)(t)=h(j)(t)*f(i)(t) 7) 卷積的延時(shí)特性 f(t)*h(t)=y(t) 則有 f(tt1)*h(tt2)=y(tt1t2) 2. 奇異信號(hào)的卷積特性 含奇異信號(hào)的卷積積分具有以下特性 。 如果一個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為沖激偶信號(hào) δ ′(t)，則此系統(tǒng)稱為微分器，如下圖所示。 例： 已知 f1(t)=e3t u(t)， f2(t)=e5t u(t)， 試計(jì)算兩信號(hào)的卷積 f1(t)*f2(t)。 卷積積分常用公式表 2. 圖解計(jì)算 對(duì)于一些較簡(jiǎn)單的函數(shù)符號(hào) ， 如方波 、 三角波等 ，可以利用圖解方式來(lái)計(jì)算 。試用圖解法求兩信號(hào)的卷積y(t)=f(t)*h(t)。 因此有必要在時(shí)域中進(jìn)行近似的數(shù)值計(jì)算 。 上述數(shù)值近似計(jì)算的卷積積分可寫(xiě)成一般表達(dá)式，為 10()nm n mmy n T T f h??????。 按此過(guò)程 ， 隨著參變量 t的不斷增加 ， f(τ) 與h(tτ) 的重疊面積隨之而不斷變化 ， 用相應(yīng)的矩形面積近似代表 f(τ) h(tτ) 的面積 ， 如果兩卷積信號(hào)的函數(shù)形式復(fù)雜 ， 我們?cè)诰唧w計(jì)算時(shí)又會(huì)遇到數(shù)學(xué)上的困難 。 下面通過(guò)例題來(lái)介紹圖解卷積的具體步驟 。 卷積積分表如下表所示 。 如果一個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為階躍信號(hào) u(t)， 則此系統(tǒng)稱為積分器 ， 如下圖所示 。 當(dāng)信號(hào) f(t)通過(guò)該放大器時(shí) ， 其輸出為 y(t)=f(t)*kδ(t)=kf(t) 即輸出是輸入信號(hào) f(t)的 k倍 。 6) 卷積的等效特性 設(shè) y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(t)=f(1)(t)*h′(t)=f′(t)*h(1)(t) 證明卷積微分特性 ， 有 y′(t)=f′(t)*h(t)=h′(t)*f(t) 將上式對(duì)時(shí)間 t積分，即可證明式 y(t)=f(1)(t)*h′(t)=f′(t)*h(1)(t) 上式說(shuō)明 ， 通過(guò)激勵(lì)信號(hào) f(t)的導(dǎo)數(shù)與沖激響應(yīng) h(t)的積分的卷積 ， 或激勵(lì)信號(hào) f(t)的積分與沖激響應(yīng) h(t)的導(dǎo)數(shù)的卷積 ， 同樣可以求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 。 系統(tǒng)級(jí)聯(lián)滿足交換律 h1( t ) h2( t )h1( t )h2( t )?? ( t )?? ( t )h ( t ) ＝ h1( t ) h2( t )*h ( t ) ＝ h2( t ) h1( t )*2) 分配律 (f1(t)+f2(t))*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t) 上式的實(shí)際意義如下圖所示 ， 表明兩個(gè)信號(hào) f1(t)與 f2(t)疊加后通過(guò)某系統(tǒng) h(t)將等于兩個(gè)信號(hào)分別通過(guò)此系統(tǒng) h(t)后再疊加 。 ， 若系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)， 則有下列關(guān)系式成立 。由于當(dāng) Δτ→ 0時(shí) ， kΔτ→τ ， Δτ→dτ ， 且 00( ( ) ( ) )()( ( ) ( ) )( ) li m ( )li m ( ) ( )( ) ( )kku t k u t ktu t k u t kf t f kf k t kf t t d??? ? ????? ? ????? ? ? ?? ? ????? ?????? ?????? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?
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