線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)卷積積分-在線瀏覽
2024-11-04 08:09本頁面
【正文】 激信號 δ(t) ， 為了保持動態(tài)方程式的左右平衡 ， 等式左側(cè)也必須含有 δ(t) 。 考慮到該動態(tài)方程的特征方程為 () 3 ( ) 2 ( ) ( 0 )d h t h t t tdt ?? ? ?30? ?? 特征根 λ 1=3， 因此可設(shè) h(t)=Ae3tu(t)， 式中 A為待定系數(shù) ， 將 h(t)代入原方程式有 333 3 3[ ( ) ] 3 ( ) 2 ( )( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( )( ) 2 ( )ttt t tdA e u t A e u t tdtA e t A e u t A e u t tA t t???????? ? ???? ? ??即 解得 A=2， 因此 ， 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 3( ) 2 ( )th t e u t?? 求導(dǎo)后 ， 對含有 δ(t) 的項(xiàng)利用沖激信號 δ(t) 的取 樣特性進(jìn)行化簡 ， 即 [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 0) ( )df t g t f t g t f t g tdtf t g t f t???? ? ?? 系統(tǒng)沖激響應(yīng) h(t)的求解還有另一種方法 ， 稱為等效初始條件法 。 例： 已知某線性非時(shí)變 (LTI)系統(tǒng)的動態(tài)方程式為 y′ (t)+3y(t)=2f(t)t≥ 0 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)。 但系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)可以由沖激信號 δ(t)作用于系統(tǒng)而求得 。 一線性非時(shí)變系統(tǒng) ， 當(dāng)其初始狀態(tài)為零時(shí) ， 輸入為單位階躍函數(shù)所引起的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng) ， 簡稱階躍響應(yīng) ， 用 g(t)表示 。 線性非時(shí)變系統(tǒng)g ( t ){ ( 0 ) } ＝ { 0 }01tu ( t )g ( t )0 tu ( t )階躍響應(yīng)示意圖 如果描述系統(tǒng)的微分方程是式 y(n)(t)+a n1 y(n1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm1 f (m1)(t)+… +b1f(1)(t)+b0f(t) ， 將 f(t)=u(t)代入，可求得其特解 上的特征根 λi(i= 1， 2， … ， n)均為單根 ， 則系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的一般形式 (n≥m) 為 00()b uta01 0( ) ( ) ( )intiibg t c e u ta????? 卷積積分 在信號分析與系統(tǒng)分析時(shí) ， 常常需要將信號分解為基本信號的形式 。 信號分解為沖激信號序列就是其中的一個(gè)實(shí)例 。 根據(jù)函數(shù)積分原理 ， 當(dāng) Δτ 很小時(shí) ， 可以用這些小矩形的頂端構(gòu)成階梯信號來近似表示信號 f(t)；而當(dāng) Δτ→ 0時(shí) ， 可以用這些小矩形來精確表達(dá)信號 f(t)。 當(dāng) Δτ→ 0時(shí) ， 可以用上式精確地表示信號 f(t)。 由上式可得 0( ) ( ) ( ) l i m ( ) ( )kf t f t t d f k t k?? ? ? ? ? ? ????? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? 上式表明 ,任意信號 f(t)可以分解為無限多個(gè)沖激序列的疊加 。 這樣 ， 任一信號 f(t)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng) yf(t)可由諸 δ(t kΔτ) 產(chǎn)生的響應(yīng)疊加而成 。 00( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) li m ( ) ( ) ( ) ( )( ) li m ( ) ( )kkkfkt h tt k h t kf k t k f k h t kf k t k f k h t kf t f k t k f t t dy t f k h t k???? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ?? ? ????????? ???????? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ?? ( ) ( )f t h t d????? 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) yf(t)為輸入激勵 f(t)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)的卷積積分 ， 為 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fy t f t h t d f t h t?????? ? ? ?? 1. 卷積積分是一種線性運(yùn)算 ， 它具有以下基本特征 。即系統(tǒng)輸入信號 f(t)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)可以互相調(diào)換 ， 其零狀態(tài)響應(yīng)不變 。 卷積分配律示意圖 h ( t )∑h ( t )h ( t )∑f1( t )f2( t )f1( t )f2( t )y ( t )y ( t )3) 設(shè)有 u(t)， v(t)， w(t)三函數(shù) ， 則有 u(t)*(v(t)*w(t))=(u(t)*v(t))*w(t) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) )u t t v t du t v t t u v t d d? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ???? 此時(shí)積分變量為 τ 此時(shí)積分變量為 λ ， 而從上式來看 ， 對變量 τ而言 ， λ 無異于一常數(shù) 。 將這些關(guān)系代入上式右邊括號內(nèi) ， 則有 ( ) ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ) )u t v t t u v t d d? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ???交換積分次序 ， 并根據(jù)卷積定義 ， 即可得 ( ) ( (
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