【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 24dIII zy ??? ?32π 3dWz ?建筑力學(xué)電子教案 (4) 空心圓截面的慣性矩 )1(64π)(64π4444??????DdDII zyc z y d c Dd??)1(32π 43??? DW z建筑力學(xué)電子教案 3. 純彎曲理論的推廣 橫力彎曲時(shí)，由于剪力的存在 ,梁的橫截面將發(fā)生翹曲。此外在與中性層平行的縱截面上 ,還有由橫向力引起的擠壓應(yīng)力。 因此，梁在純彎時(shí)的平面假設(shè)和縱向纖維間互不擠壓假設(shè)均不成立。但 當(dāng)梁跨度比橫截面高度大五倍以上時(shí)，橫力彎曲梁實(shí)際最大正應(yīng)力與用純彎曲梁公式算出的最大正應(yīng)力誤差小于 1%，故其精度足夠工程應(yīng)用 。 建筑力學(xué)電子教案 橫力彎曲時(shí)，各截面上的彎矩是不同的，因此用純彎曲公式計(jì)算橫力彎曲等直梁橫截面上的最大正應(yīng)力，應(yīng)注意用相應(yīng)截面上的彎矩 M(x) 來(lái)代表該式中的 M，即 zWxM )(m a x ??建筑力學(xué)電子教案 梁彎曲時(shí)在其橫截面上既有拉應(yīng)力，又有壓應(yīng)力，兩者各自有其最大值。對(duì)對(duì)稱(chēng)截面，如矩型、圓形和工字形截面，其拉壓應(yīng)力最大值在數(shù)值上相等，可直接按上式求得；有一些橫截面如 T字形截面，其中性軸不是對(duì)稱(chēng)軸，其上拉應(yīng)力和壓應(yīng)力最大值將不等，則所用的抗彎截面模量應(yīng)該分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠(yuǎn)的距離 和 代入公式求得： max1y m a x2ym a x2m a x121 yIWyIW zzzz ??建筑力學(xué)電子教案 y z 80 65 20 20 80 35 單位 : mm 例 106 對(duì)于圖示 T形截面梁 ,求橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力 .已知 : 46 mm109 0 ??zI3 A B 1 3 kN 8 kN C 2 x M kNm 3 kNm 建筑力學(xué)電子教案 B 截面上： M P 1035103 2633?? ?????? ））（（上B?解： M P )(3565 ????下B?C 截面上： M P ??????? ????????? ?? 下下 BC ??3 A B 1 3 kN 8 kN C 2 x M kNm 3 kNm 建筑力學(xué)電子教案 M P a .,M P m a xm a x???al??y z 80 65 20 20 80 35 單位 : mm x M kNm 3 kNm MPa MPa B截面上： MPa MPa C 截面上： 建筑力學(xué)電子教案 若例 56中的梁截面為工字形，則橫截面的最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力是否一定在彎矩絕對(duì)值最大的橫截面上？ 思考題 10－ 9： 3 A B 1 3 kN 8 kN C 2 x M kNm 3 kNm y z 建筑力學(xué)電子教案 工程實(shí)際中有許多梁的截面形狀比較復(fù)雜，例如 T，工，口形截面。很多時(shí)候這些梁的截面是由一些簡(jiǎn)單圖形如矩形、圓形或三角形組成，稱(chēng)之為 組合截面梁 。 由慣性矩定義可知： 組合截面對(duì)某一軸的慣性矩等于其各個(gè)組成部分對(duì)同一軸的慣性矩之和 。 例如 T 字型截面，可將其分成兩個(gè)矩型部分 I和 II，則整個(gè)截面對(duì) z 軸的慣性矩就是這兩個(gè)矩形部分對(duì) z 軸的慣性矩之和。 但是計(jì)算時(shí)， T 截面的中性軸 z 并不通過(guò)這兩個(gè)矩形的形心，這時(shí)要應(yīng)用下述的 平行移軸公式 。 167。 104 求慣性矩的平行移軸公式 建筑力學(xué)電子教案 cy y a??22222dd2dd)(dAaIAaAyaAyAayAyIzcAAcAcA Acz???????????? ?2AbII yzy ??同理可得： z y C a b dA z y yc zc yc zc O 設(shè)一任意形狀的截面，面積為 A， 軸通過(guò)截面形心 c，故稱(chēng)為形心軸。已知截面對(duì) 軸的慣性矩為 ?，F(xiàn)有一ｚ軸與 軸平行，兩軸間的距離為 ，求截面對(duì) z 軸的慣性矩 。 cz cz zcIcz zIczzcI czcza建筑力學(xué)電子教案 在工程實(shí)際計(jì)算中，還要確定組合截面的形心軸 z ，也就是要找出組合截面的形心。設(shè)一個(gè)組合截面由 n 個(gè)簡(jiǎn)單圖形構(gòu)成， 代表其中第 i 個(gè)簡(jiǎn)單圖形的面積； 分別代表其中第 i 個(gè)簡(jiǎn)單圖形的形心在 y, z 坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)值，則組合截面形心的坐標(biāo)公式是： ???????? ??niiniiiniiniiiAzAzAyAy1111 iA ,iiyz建筑力學(xué)電子教案 （ 1）根據(jù)求慣性矩的平行移軸公式，是否可得如下結(jié)論：圖 形對(duì)于形心軸的慣性矩是圖形對(duì)于與該形心軸平行的軸 之慣性矩中的最小者？ （ 2）求圖示截面對(duì)于形心軸 z 的慣性矩 (例 56)。 思考題 1010 y z 80 65 20 20 80 35 單位 : mm 建筑力學(xué)電子教案 y z 80 65 20 20 80 35 80 20 10 80 20 6080 20 80 2035ymm? ? ? ? ??? ? ??332648 0 2 0( 8 0 2 0 ) ( 3 5 1 0122 0 8 0( 8 0 2 0 ) ( 6 0 3 5 )122 .9 0 7 1 0zImm?? ? ? ??? ? ? ???２）解： 以 T型上頂邊為參考軸，則 Z 軸的 y 座標(biāo)為 建筑力學(xué)電子教案 167。 105 彎曲切應(yīng)力 彎曲正應(yīng)力是支配梁強(qiáng)度的主要因素，但在以下情況下還要進(jìn)行彎曲切應(yīng)力的計(jì)算： （ 1）跨長(zhǎng)很短的梁：這時(shí) 很小，但 較大； （ 2）截面窄而高的梁； （ 3）抗剪差的梁，如木梁。 maxM m ax m ax()SQF建筑力學(xué)電子教案 設(shè) 平行于剪力 ，則 ? sFbISFzzS??式中： ：橫截面上的剪力 ：整個(gè)橫截面對(duì)中性軸 z的慣性矩 b ：橫截面寬度 ：橫截面上求切應(yīng)力的點(diǎn)所在的橫線至邊緣 部分的面積對(duì)中性軸的面積矩。 sFzIzSy z Q y 建筑力學(xué)電子教案 矩形截面梁 發(fā)生在中性軸處 m a xm in33220ssFFbh A????? 發(fā)生在上下邊緣處 b h ?cyy z y Q ? max * 計(jì)算式： 22()24sZF h yI? ??)41(8 )2(21)2()(222hybhyhyyhbyAySCZ??????????????? (例 94) 沿截面高度方向按二次拋物線規(guī)律變化 ??A建筑力學(xué)電子教案 工字形截面梁 由腹板與翼緣組成，橫截面上的切應(yīng)力主要分布于腹板，平行于豎邊，沿寬度方向均勻分布，沿高度方向也呈二次拋物線分布， 在中性軸上。其 zzSdISF m a xm a x ??max?式中 d 為腹板厚， 可由型鋼 規(guī)格表 值查得。 zzIS maxxx SI :y O ?max ?max ?min ?1max 建筑力學(xué)電子教案 —— 腹板高度 —— 腹板截面積 腹板主要抗剪，承受切應(yīng)力；翼緣主要抗彎，承受正應(yīng)力。 11m a x AFdhF SS ???也可按下式近似估算腹板上的 max?1h 1A建筑力學(xué)電子教案 *sZzFSdI? ?T 形截面梁 y d z ?yi max ?f max 圓形截面梁 m a x43sFA? ?圓環(huán)形截面梁 m a x 2sFA? ?c z y d c 建筑力學(xué)電子教案 167。 106 梁的強(qiáng)度條件 (1) 等截面直梁，中性軸為橫截面對(duì)稱(chēng)軸 σmax≤ [σ] 1. 純彎曲梁正應(yīng)力 強(qiáng)度條件 ： zWM /m a xm a x ??故 ? ?m a xzMW ??建筑力學(xué)電子教案 （ 2）中性軸不是橫截面對(duì)稱(chēng)軸，且材料拉壓強(qiáng)度不相等 則 容許拉應(yīng)力 容許壓應(yīng)力 ? ?, m a x 1t???? ?, m a x ac???建筑力學(xué)電子教案 （ 3）利用正應(yīng)力強(qiáng)度條件可以對(duì)梁進(jìn)行三種不同 形式的強(qiáng)度計(jì)算： （ a）校核強(qiáng)度 （ b）選擇截面尺寸或型鋼號(hào) （ c）確定許可荷載 ? ?m a xzMW ??? ?m a xzMW??? ?m a x m a xMW??建筑力學(xué)電子教案 還要滿足 τmax≤ [τ] 對(duì)于等截面直梁，則有： 2. 橫力彎曲梁強(qiáng)度條件 σmax≤ [σ] ? ?szzFSIb ??除了滿足 建筑力學(xué)電子教案 注意： （ 1）一般的梁，其強(qiáng)度主要受正應(yīng)力的強(qiáng)度條件控 制，所以在選擇梁的截面尺寸或確定許可荷載時(shí)， 先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行計(jì)算，然后按切應(yīng)力強(qiáng) 度條件校核 。 在彎矩為最大的橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)處有最大正應(yīng)力；在剪力為最大的橫截面的中性軸上各點(diǎn)處 有最大切應(yīng)力 。 建筑力學(xué)電子教案 例 107 如圖，已知 q=，梁的跨長(zhǎng) L=3m，梁的橫截面為b h=120mm 180mm的矩形，梁的材料為松木。容許彎曲正應(yīng)力 [σ]=7 MPa,容許切應(yīng)力 [τ]=。校核此梁的強(qiáng)度。 A B q 建筑力學(xué)電子教案 A B q FA FB + M（ kNm） x Q（ kN） x + 建筑力學(xué)電子教案 此梁之最大彎矩發(fā)生在跨中的橫截面上 抗彎截面模量為 則 ??? qlM362 m106 4 86/ ???? bhW zM P a7M P ??? zWM? 此梁的最大剪力出現(xiàn)在梁的支座處橫截面上 ,其值為 m a x / 2 5. 4 kNsF ql??建筑力學(xué)電子教案 又 以上兩方面強(qiáng)度條件均能滿足 ,故此木梁是安全的 。 23 ???? bhAm a x3 0 .3 7 5 M Pa 0 .9 M Pa2sFA? ? ? ?建筑力學(xué)電子教案 例 108 圖示槽形截面鑄鐵梁，已知： b = 2m，截面對(duì)中性軸的慣性矩 Iz=5493?104mm4， 鑄鐵的許用拉應(yīng)力 [ st ]=30 MPa，許用壓應(yīng)力 [ sc ] =90 MPa。試求梁的許可荷載 [F ] 。 解 ： 梁的支反力為 z y C 形心 86 134 20 40 180 120 20 B F C b q=F/b D b b A FB FA FF B 47?4FFA ?建筑力學(xué)電子教案 據(jù)此作出梁的彎