【文章內(nèi)容簡介】 24dIII zy ??? ?32π 3dWz ?建筑力學(xué)電子教案 (4) 空心圓截面的慣性矩 )1(64π)(64π4444??????DdDII zyc z y d c Dd??)1(32π 43??? DW z建筑力學(xué)電子教案 3. 純彎曲理論的推廣 橫力彎曲時，由于剪力的存在 ,梁的橫截面將發(fā)生翹曲。此外在與中性層平行的縱截面上 ,還有由橫向力引起的擠壓應(yīng)力。 因此，梁在純彎時的平面假設(shè)和縱向纖維間互不擠壓假設(shè)均不成立。但 當梁跨度比橫截面高度大五倍以上時，橫力彎曲梁實際最大正應(yīng)力與用純彎曲梁公式算出的最大正應(yīng)力誤差小于 1%，故其精度足夠工程應(yīng)用 。 建筑力學(xué)電子教案 橫力彎曲時，各截面上的彎矩是不同的，因此用純彎曲公式計算橫力彎曲等直梁橫截面上的最大正應(yīng)力，應(yīng)注意用相應(yīng)截面上的彎矩 M(x) 來代表該式中的 M，即 zWxM )(m a x ??建筑力學(xué)電子教案 梁彎曲時在其橫截面上既有拉應(yīng)力，又有壓應(yīng)力，兩者各自有其最大值。對對稱截面，如矩型、圓形和工字形截面，其拉壓應(yīng)力最大值在數(shù)值上相等，可直接按上式求得；有一些橫截面如 T字形截面，其中性軸不是對稱軸，其上拉應(yīng)力和壓應(yīng)力最大值將不等，則所用的抗彎截面模量應(yīng)該分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠的距離 和 代入公式求得： max1y m a x2ym a x2m a x121 yIWyIW zzzz ??建筑力學(xué)電子教案 y z 80 65 20 20 80 35 單位 : mm 例 106 對于圖示 T形截面梁 ,求橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力 .已知 : 46 mm109 0 ??zI3 A B 1 3 kN 8 kN C 2 x M kNm 3 kNm 建筑力學(xué)電子教案 B 截面上： M P 1035103 2633?? ?????? ））（（上B?解： M P )(3565 ????下B?C 截面上： M P ??????? ????????? ?? 下下 BC ??3 A B 1 3 kN 8 kN C 2 x M kNm 3 kNm 建筑力學(xué)電子教案 M P a .,M P m a xm a x???al??y z 80 65 20 20 80 35 單位 : mm x M kNm 3 kNm MPa MPa B截面上： MPa MPa C 截面上： 建筑力學(xué)電子教案 若例 56中的梁截面為工字形，則橫截面的最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力是否一定在彎矩絕對值最大的橫截面上？ 思考題 10－ 9： 3 A B 1 3 kN 8 kN C 2 x M kNm 3 kNm y z 建筑力學(xué)電子教案 工程實際中有許多梁的截面形狀比較復(fù)雜，例如 T，工，口形截面。很多時候這些梁的截面是由一些簡單圖形如矩形、圓形或三角形組成，稱之為 組合截面梁 。 由慣性矩定義可知： 組合截面對某一軸的慣性矩等于其各個組成部分對同一軸的慣性矩之和 。 例如 T 字型截面，可將其分成兩個矩型部分 I和 II，則整個截面對 z 軸的慣性矩就是這兩個矩形部分對 z 軸的慣性矩之和。 但是計算時， T 截面的中性軸 z 并不通過這兩個矩形的形心，這時要應(yīng)用下述的 平行移軸公式 。 167。 104 求慣性矩的平行移軸公式 建筑力學(xué)電子教案 cy y a??22222dd2dd)(dAaIAaAyaAyAayAyIzcAAcAcA Acz???????????? ?2AbII yzy ??同理可得： z y C a b dA z y yc zc yc zc O 設(shè)一任意形狀的截面，面積為 A， 軸通過截面形心 c，故稱為形心軸。已知截面對 軸的慣性矩為 。現(xiàn)有一ｚ軸與 軸平行，兩軸間的距離為 ，求截面對 z 軸的慣性矩 。 cz cz zcIcz zIczzcI czcza建筑力學(xué)電子教案 在工程實際計算中，還要確定組合截面的形心軸 z ，也就是要找出組合截面的形心。設(shè)一個組合截面由 n 個簡單圖形構(gòu)成， 代表其中第 i 個簡單圖形的面積； 分別代表其中第 i 個簡單圖形的形心在 y, z 坐標系中的位置坐標值，則組合截面形心的坐標公式是： ???????? ??niiniiiniiniiiAzAzAyAy1111 iA ,iiyz建筑力學(xué)電子教案 （ 1）根據(jù)求慣性矩的平行移軸公式，是否可得如下結(jié)論：圖 形對于形心軸的慣性矩是圖形對于與該形心軸平行的軸 之慣性矩中的最小者？ （ 2）求圖示截面對于形心軸 z 的慣性矩 (例 56)。 思考題 1010 y z 80 65 20 20 80 35 單位 : mm 建筑力學(xué)電子教案 y z 80 65 20 20 80 35 80 20 10 80 20 6080 20 80 2035ymm? ? ? ? ??? ? ??332648 0 2 0( 8 0 2 0 ) ( 3 5 1 0122 0 8 0( 8 0 2 0 ) ( 6 0 3 5 )122 .9 0 7 1 0zImm?? ? ? ??? ? ? ???２）解： 以 T型上頂邊為參考軸，則 Z 軸的 y 座標為 建筑力學(xué)電子教案 167。 105 彎曲切應(yīng)力 彎曲正應(yīng)力是支配梁強度的主要因素，但在以下情況下還要進行彎曲切應(yīng)力的計算： （ 1）跨長很短的梁：這時 很小，但 較大； （ 2）截面窄而高的梁； （ 3）抗剪差的梁，如木梁。 maxM m ax m ax()SQF建筑力學(xué)電子教案 設(shè) 平行于剪力 ，則 ? sFbISFzzS??式中： ：橫截面上的剪力 ：整個橫截面對中性軸 z的慣性矩 b ：橫截面寬度 ：橫截面上求切應(yīng)力的點所在的橫線至邊緣 部分的面積對中性軸的面積矩。 sFzIzSy z Q y 建筑力學(xué)電子教案 矩形截面梁 發(fā)生在中性軸處 m a xm in33220ssFFbh A????? 發(fā)生在上下邊緣處 b h ?cyy z y Q ? max * 計算式： 22()24sZF h yI? ??)41(8 )2(21)2()(222hybhyhyyhbyAySCZ??????????????? (例 94) 沿截面高度方向按二次拋物線規(guī)律變化 ??A建筑力學(xué)電子教案 工字形截面梁 由腹板與翼緣組成，橫截面上的切應(yīng)力主要分布于腹板，平行于豎邊，沿寬度方向均勻分布，沿高度方向也呈二次拋物線分布， 在中性軸上。其 zzSdISF m a xm a x ??max?式中 d 為腹板厚， 可由型鋼 規(guī)格表 值查得。 zzIS maxxx SI :y O ?max ?max ?min ?1max 建筑力學(xué)電子教案 —— 腹板高度 —— 腹板截面積 腹板主要抗剪，承受切應(yīng)力；翼緣主要抗彎，承受正應(yīng)力。 11m a x AFdhF SS ???也可按下式近似估算腹板上的 max?1h 1A建筑力學(xué)電子教案 *sZzFSdI? ?T 形截面梁 y d z ?yi max ?f max 圓形截面梁 m a x43sFA? ?圓環(huán)形截面梁 m a x 2sFA? ?c z y d c 建筑力學(xué)電子教案 167。 106 梁的強度條件 (1) 等截面直梁，中性軸為橫截面對稱軸 σmax≤ [σ] 1. 純彎曲梁正應(yīng)力 強度條件 ： zWM /m a xm a x ??故 ? ?m a xzMW ??建筑力學(xué)電子教案 （ 2）中性軸不是橫截面對稱軸，且材料拉壓強度不相等 則 容許拉應(yīng)力 容許壓應(yīng)力 ? ?, m a x 1t???? ?, m a x ac???建筑力學(xué)電子教案 （ 3）利用正應(yīng)力強度條件可以對梁進行三種不同 形式的強度計算： （ a）校核強度 （ b）選擇截面尺寸或型鋼號 （ c）確定許可荷載 ? ?m a xzMW ??? ?m a xzMW??? ?m a x m a xMW??建筑力學(xué)電子教案 還要滿足 τmax≤ [τ] 對于等截面直梁，則有： 2. 橫力彎曲梁強度條件 σmax≤ [σ] ? ?szzFSIb ??除了滿足 建筑力學(xué)電子教案 注意： （ 1）一般的梁，其強度主要受正應(yīng)力的強度條件控 制，所以在選擇梁的截面尺寸或確定許可荷載時， 先按正應(yīng)力強度條件進行計算，然后按切應(yīng)力強 度條件校核 。 在彎矩為最大的橫截面上距中性軸最遠點處有最大正應(yīng)力；在剪力為最大的橫截面的中性軸上各點處 有最大切應(yīng)力 。 建筑力學(xué)電子教案 例 107 如圖，已知 q=，梁的跨長 L=3m，梁的橫截面為b h=120mm 180mm的矩形，梁的材料為松木。容許彎曲正應(yīng)力 [σ]=7 MPa,容許切應(yīng)力 [τ]=。校核此梁的強度。 A B q 建筑力學(xué)電子教案 A B q FA FB + M（ kNm） x Q（ kN） x + 建筑力學(xué)電子教案 此梁之最大彎矩發(fā)生在跨中的橫截面上 抗彎截面模量為 則 ??? qlM362 m106 4 86/ ???? bhW zM P a7M P ??? zWM? 此梁的最大剪力出現(xiàn)在梁的支座處橫截面上 ,其值為 m a x / 2 5. 4 kNsF ql??建筑力學(xué)電子教案 又 以上兩方面強度條件均能滿足 ,故此木梁是安全的 。 23 ???? bhAm a x3 0 .3 7 5 M Pa 0 .9 M Pa2sFA? ? ? ?建筑力學(xué)電子教案 例 108 圖示槽形截面鑄鐵梁，已知： b = 2m，截面對中性軸的慣性矩 Iz=5493?104mm4， 鑄鐵的許用拉應(yīng)力 [ st ]=30 MPa，許用壓應(yīng)力 [ sc ] =90 MPa。試求梁的許可荷載 [F ] 。 解 ： 梁的支反力為 z y C 形心 86 134 20 40 180 120 20 B F C b q=F/b D b b A FB FA FF B 47?4FFA ?建筑力學(xué)電子教案 據(jù)此作出梁的彎