【文章內容簡介】 】 1．以選擇題或填空題的形式考查隨機抽樣方法以及有關的計算．特別是對分層抽樣的考查，幾乎每年都出現在高考試題中 . 2．在解答題中與概率統(tǒng)計的有關問題相結合進行綜合考查． 【復習指導】 1．本 講復習時，應準確理解三種抽樣方法的定義，搞清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，靈活選擇恰當的抽樣方法抽取樣本． 2．新課標高考近幾年常將抽樣方法與頻率分布直方圖、概率等相結合進行綜合考查，因此，要加強這方面的訓練． 基礎梳理 1．簡單隨機抽樣 (1)定義：設一個總體含有 N 個個體，從中 逐個不放回地 抽取 n 個個體作為樣本(n≤ N)，如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都 相等 ，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣． (2)最常用的簡單隨機抽樣的方法： 抽簽法 和 隨機 數法． 2． 系統(tǒng)抽樣的步驟 假設要從容量為 N 的總體中抽取容量為 n 的樣本． (1)編號：先將總體的 N 個個體 編號 ； (2)分段：確定 分段間隔 k，對編號進行 分段 ，當 Nn(n 是樣本容量 )是整數時，取 k＝ Nn； (3)確定首個個體：在第 1 段用 簡單隨機抽樣 確定第一個個體編號 l(l≤ k)； (4)獲取樣本：按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將 l 加上間隔 k 得到第 2 個個體編號 (l＋ k)，再加 k 得到第 3 個個體編號 (l＋ 2k)，依次進行下去，直到獲取整個樣本． 3． 分層抽樣 (1)定義：在 抽樣時，將總體分成 互不交叉 的層，然后按照 一定的比例 ，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣． (2)分層抽樣的應用范圍： 當總體是由 差異明顯的幾個部分 組成時，往往選用分層抽樣． 4． 分層抽樣的步驟 (1)分層：將總體按某種特征分成若干部分； (2)確定比例：計算各層的個體數與總體的個體數的比； (3)確定各層應抽取的樣本容量； (4)在每一層進行抽樣 (各層分別按簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽取 )，綜合每層抽樣，組成樣本． 一條規(guī)律 三種抽樣方法的共同點都是等概率抽樣，即抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，體現了這三種抽樣方法的客觀性和公平性．若樣本容量為 n，總體的個體數為N，則用這三種方法抽樣時，每個個體被抽到的概率都是 nN. 三個特點 (1)簡單隨機抽樣的特點： 總體中的個體性質相似，無明顯層次；總體容量較小，尤其是樣本容量較?。挥煤唵坞S機抽樣法抽出的個體帶有隨機性，個體間無固定間距． (2)系統(tǒng)抽樣的特點：適用于元素個數很多且均衡的總體；各個個體被抽到的機會均等；總體分組后 ，在起始部分抽樣時，采用簡單隨機抽樣． (3)分層抽樣的特點：適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況；分層后，在每一層抽樣時可采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習題改編 )某公司有員工 500 人，其中不到 35 歲的有 125 人， 35～49 歲的有 280 人， 50 歲以上的有 95 人，為了調查員工的身體健康狀況，從中抽取100 名員工，則應在這三個年齡段分別抽取人數為 ( )． A． 33 人， 34 人， 33 人 B． 25 人， 56 人， 19 人 C． 30 人， 40 人， 30 人 D． 30 人， 50 人， 20 人 解析 因為 125∶ 280∶ 95＝ 25∶ 56∶ 19，所以抽取人數分別為： 25 人， 56 人， 19人． 答案 B 2． (2020福州質檢 )為了了解全校 240 名學生的身高情況，從中抽取 40 名學生進行測量，下列說法正確的是 ( )． A．總體是 240 B．個體是每一個學生 C．樣本是 40 名學生 D．樣本容量是 40 解析 總體容量是 240，總體是 240 名學生的身高；個體是每名學生的身高；樣本是 40名學生的身高；樣本容量是 40. 答案 D 3． (2020昆明調研 )下列說法中正確說法的個數是 ( )． ① 總體中的個體 數不多時宜用簡單隨機抽樣法； ② 在總體均分后的每一部分進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣； ③ 百貨商場的抓獎活動是抽簽法； ④ 整個抽樣過程中，每個個體被抽取的概率相等 (有剔除時例外 )． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 解析 ①②③ 顯然正確，系統(tǒng)抽樣無論有無剔除都是等概率抽樣； ④ 不正確． 答案 C 4．老師在班級 50 名學生中，依次抽取學號為 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50 的學生進行作業(yè)檢查，這種抽樣方法是 ( )． A．隨機抽樣 B．分層抽樣 C．系統(tǒng)抽樣 D．以上都不是 解析 因為所抽取學生的學號成等差數列，即為等距離抽樣，屬于系統(tǒng)抽樣． 答案 C 5． (2020天津 )一支田徑隊有男運動員 48 人，女運動員 36 人，若用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為 21 的樣本，則抽取男運動員的人數為________． 解析 抽取的男運動員的人數為 2148＋ 36 48＝ 12. 答案 12 考向一 簡單隨機抽樣 【例 1】 ?某車間工人加工一種軸承 100 件，為了了 解這種軸承的直徑，要從中抽取10 件軸承在同一條件下測量，如何采用簡單隨機抽樣的方法抽取樣本？ [審題視點 ] 考慮到總體中個體數較少，利用抽簽法或隨機數表法均可容易獲取樣本．須按這兩種抽樣方法的操作步驟進行．抽簽法應 “ 編號、制簽、攪勻、抽取 ” ；隨機數表法應 “ 編號、確定起始數、讀數、取得樣本 ” ． 解 法一 (抽簽法 )將 100 件軸承編號為 1,2， ? ， 100，并做好大小、形狀相同的號簽，分別寫上這 100 個數，將這些號簽放在一起，進行均勻攪拌，接著連續(xù)抽取10 個號簽，然后測量這 10 個號簽對應的軸的直徑． 法二 (隨機 數表法 )將 100 件軸承編號為 00,01,02， ? ， 99，在隨機數表中選定一個起始位置，如取第 21 行 ( 見隨機數表 ) 第 1 個數開始，選取 10 個為68,34,30,13,70,55,74,30,77,40，這 10 件即為所要抽取的樣本． (1)一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點：一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻，一般地，當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法． (2)隨機數表中共隨機出現 0,1,2， ? ， 9十個數字，也就是說，在表中的每個位置上出現各個數 字的機會都是相等的．在使用隨機數表時，如遇到三位數或四位數時，可從選擇的隨機數表中的某行某列的數字計起，每三個或每四個作為一個單位，自左向右選取，有超過總體號碼或出現重復號碼的數字舍去． 【訓練 1】 福利彩票的中獎號碼是在 1～ 36 個號碼中，選出 7 個號碼來按規(guī)則確定中獎情況，這種從 36 個號碼中選 7 個號的適宜的抽樣方法是 ________． 答案 抽簽法 考向二 系統(tǒng)抽樣 【例 2】 ?用系統(tǒng)抽樣法要從 160 名學生中抽取容量為 20 的樣本，將 160 名學生從1～ 160 編號，按編號順序平均分成 20 組 (1～ 8 號， 9～ 16 號 ， ? ， 153～ 160 號 )，若第 16 組抽出的號碼為 123，則第 2 組中應抽出個體的號碼是 ________． [審題視點 ] 根據系統(tǒng)抽樣的特點，確定組數和每組的樣本數，寫出每組抽取號碼的表達式，確定第一組所抽取的號碼數，代入公式即可求得第 2組抽取樣本的號碼． 解析 由題意可知，系統(tǒng)抽樣的組數為 20，間隔為 8，設第 1 組抽出的號碼為 x，則由系統(tǒng)抽樣的法則可知，第 n組抽出個體的號碼應該為 x＋ (n－ 1) 8，所以第 16組應抽出的號碼為 x＋ (16－ 1) 8＝ 123，解得 x＝ 3，所以第 2組中應抽出個體的號碼為 3＋ (2－ 1) 8＝ 11. 答案 11 (1)系統(tǒng)抽樣的特點 —— 機械抽樣，又稱等距抽樣，所以依次抽取的樣本對應的號碼就是一個等差數列，首項就是第 1組所抽取樣本的號碼，公差為間隔數，根據等差數列的通項公式就可以確定每一組內所要抽取的樣本號碼． (2)系統(tǒng)抽樣時，如果總體中的個數不能被樣本容量整除時，可以先用簡單隨機抽樣從總體中剔除幾個個體，然后再按系統(tǒng)抽樣進行． 【訓練 2】 從編號為 1～ 50 的 50 枚最新研制的某種型號的導彈中隨機抽取 5 枚來進行發(fā)射實驗，若采用每部分選 取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法，則所選取 5 枚導彈的編號可能是 ( )． A． 5,10,15,20,25 B． 3,13,23,33,43 C． 1,2,3,4,5 D． 2,4,6,16,32 解析 間隔距離為 10，故可能編號是 3,13,23,33,43.