【文章內(nèi)容簡介】 sim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T)。 plot(T,X(:,1),39。39。)。hold on。 plot(T,X(:,2),39。39。)。hold on。 plot(T,X(:,3),39。.39。)。hold on。 plot(T,X(:,4),39。39。)。 legend(39。cartpls39。,39。cartspd39。,39。pendang39。,39。pendspd39。) 令 Q1,1= 1， Q3,3 =1 求得 K [1 ] 在 Simulink 中建立直線一級倒立擺的模型如下圖所示： “ LQR Controller”為一封裝好的模塊，在其上單擊鼠標(biāo)右鍵，選擇“ Look under mask”打開 LQR Controller 結(jié)構(gòu)如下： 雙擊“ Matrix gain K”即可輸入控制參數(shù)： 點(diǎn)擊 執(zhí)行仿真，得到如下仿真結(jié)果： LQR 控制的階躍響應(yīng)如上圖所示，從圖中可以看出，閉環(huán)控制 系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量很小，但穩(wěn)定時間和上升時間偏大，我們可以通過增大控制量來縮短穩(wěn)定時間和上升時間。 可以發(fā)現(xiàn)， Q 矩陣中，增加 Q11 使穩(wěn)定時間和上升時間變短，并且使擺桿的角度變化減小。經(jīng)過多次嘗試 ,這里取 Q1,1=1500， Q3,3 =300， 則 K = [ ] 輸入?yún)?shù)，運(yùn)行得到響應(yīng)曲線如下： 從圖中可以看出，系統(tǒng)響應(yīng)時間有明顯的改善，增大 Q1,1 和Q3,3 ，系統(tǒng)的響應(yīng)還會更快，但是對于實(shí)際離散控制系統(tǒng)， 過大的控制量會引起系統(tǒng)振蕩。 LQR 控制實(shí)驗(yàn) 打開直線一級倒立擺 LQR 實(shí)時控制模塊 其中“ LQR Controller”為 LQR 控制器模塊，“ Real Control”為實(shí)時控制模塊，雙擊“ LQR Controller”模塊打開 LQR 控制器參數(shù)設(shè)置窗口如下： 在“ LQR Controller”模塊上點(diǎn)擊鼠標(biāo)右鍵選擇“ Look under mask”打開模 型如下： 雙擊“ Real Control”模塊打開實(shí)時控制模塊如下圖： 其中“ Pendulum”模塊為倒立擺系統(tǒng)輸入輸出模塊，輸入為小車的速度“ Vel ”和“ Acc ”，輸出為小車的位置“ Pos”和擺桿的角度“ Angle ”。 雙擊“ Pendulum”模塊打開其內(nèi)部結(jié)構(gòu)： 其中“ Set Cart’ s Acc and Vel”模塊的作用是設(shè)置小車運(yùn)動的速度和加速度， Get Cart’ s Position”模塊的作用是讀取小車當(dāng)前的實(shí)際位置，“ Get Pend’ s Angle” 的作用是讀取擺桿當(dāng)前的實(shí)際角度。 2) 運(yùn)行程序， 實(shí)驗(yàn)運(yùn)行結(jié)果如下圖所示： 其中圖片上半部分為小車的位置曲線，下半部分為擺桿角度的變化曲線，從圖中可以看出，小車位置和擺桿角度比較穩(wěn)定?？刂菩Ч芎?。 在此實(shí)驗(yàn)中， R 值固定， R=1,則只調(diào)節(jié) Q 值， Q11 代表小車位置的權(quán)重，而 Q33 是擺桿角度的權(quán)重，若 Q33 增加，使得θ的變化幅度減小，而位移 r 的響應(yīng)速度變慢；若 Q11 增加，使得 r 的跟蹤速度變快，而θ的變化幅度增大。當(dāng)給系統(tǒng)施加一個階躍輸入后，得到系統(tǒng)的響應(yīng)結(jié)果。從響應(yīng)曲線可明顯看出是否滿足系統(tǒng)所要達(dá)到的性能指標(biāo)要求。通過這樣反復(fù)不斷的試湊，選取能夠滿足系統(tǒng)動態(tài)性能要求的 Q 和 R。 (三 )直線二級倒立擺 直線兩級倒立擺由直線運(yùn)動模塊和兩級倒立擺組件組成。 系統(tǒng)物理模型 為簡化系統(tǒng)，我們在建模時忽略了空氣阻力和各種摩擦，并認(rèn)為擺桿為剛體。 二級倒立擺的組成如圖 61 所示： 圖 61 直線兩級倒立擺物理模型 倒立擺參數(shù)定義如下： M 小車質(zhì)量 m1 擺桿 1 的質(zhì)量 m2 擺桿 2 的質(zhì)量 m3 質(zhì)量塊的質(zhì)量 l1 擺桿 1 中心到轉(zhuǎn)動中心的距離 l2 擺桿 2 中心到轉(zhuǎn)動中心的距離 θ 1 擺桿 1 與豎直方向的夾角 θ 2 擺桿 2 與豎直方向的夾角 F 作用在系統(tǒng)上的外力 利用拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動學(xué)方程： 拉格朗日方程為： L(q,q)=T(q,q)V(q,q) 其中 L 為拉格朗日算子， q 為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)， T 為系統(tǒng)的動能， V 為系統(tǒng)的勢能。 其中 i ＝ 1,2,3?? n， f i 為系統(tǒng)在第 i 個廣義坐標(biāo)上的外力，在二級倒立擺系統(tǒng)中，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)有三個廣義坐標(biāo)，分別為 x,θ 1,θ 2 。 首先計(jì)算系統(tǒng)的動能： 其中 Tm,Tm1,Tm2,Tm3 分別為小車的動能，擺桿 1 的動能，擺桿2 的動能和質(zhì)量塊的動能。 小車的動能： Tm1 = Tm139。 +Tm2 39。39。 其中 Tm139。 ,Tm2 39。 分別為擺桿 1 的平動動能和轉(zhuǎn)動動能。 Tm2 = Tm2 39。 +Tm2 39。39。 其中 Tm2 39。 ,Tm2 39。 分別為擺桿 2 的平動動能和轉(zhuǎn)動動能。 對于系統(tǒng)，設(shè)以下變量： xpend1 擺桿 1 質(zhì)心橫坐標(biāo)； yangle1 擺桿 1 質(zhì)心縱坐標(biāo)； xpend2 擺桿 2 質(zhì) 心橫坐標(biāo)； yangle2 擺桿 2 質(zhì)心縱坐標(biāo)； xmass 質(zhì)量塊質(zhì)心橫坐標(biāo)； ymass 質(zhì)量塊質(zhì)心縱坐標(biāo)； 又有： 由于系統(tǒng)在θ 1,θ 2 廣義坐標(biāo)下沒有外力作用，所以有： 在 Mathematics 中計(jì)算以上各式。 因其余各項(xiàng)為 0，所以這里僅列舉了 k1 k1 k1 k2 k2 k27 等 7 項(xiàng)，得到結(jié)果如下： 系統(tǒng)可控性分析 系統(tǒng)狀態(tài)矩陣 A,B,C,D 如下： 利用 MATLAB 計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)可控性矩陣和輸出可控性矩陣的 秩： 得到結(jié)果如下： 或是通過 MATLAB 命令 ctrb 和 obsv 直接得到系統(tǒng)的可控性和可觀測性。 運(yùn)行的到： 可以得到，系統(tǒng)狀態(tài)和輸出都可控，且系統(tǒng)具有可觀測性。 直線兩級倒立擺 MATLAB 仿真 在 MATLAB Simulink 中建立直線兩級倒立擺的模型： 其中“ StateSpace”模塊為直線兩級倒立擺的狀態(tài)方程，雙擊模塊打開模型： “ Controller”模塊為控制器模塊，在“ Controller”模塊上單擊鼠標(biāo)右鍵，選擇 “ Look under mask”打開模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)： 其中“ Matrix Gain K”為反饋矩陣。 雙擊“ Controller”模塊打開其參數(shù)設(shè)置窗口： 先設(shè)置參數(shù)為“ 1”。 “ Disturbance”模塊為外界干擾模塊，其作用是給系統(tǒng)施加一個階躍信號，點(diǎn)擊 “ ”運(yùn)行模型進(jìn)行開環(huán)系統(tǒng)仿真。 得到運(yùn)行結(jié)果如下： 從仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)發(fā)散，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，需要對其添加控制器。 LQR 控制器設(shè)計(jì)及仿真 給系統(tǒng)添加 LQR 控制器，添加控制器后的系統(tǒng)閉環(huán)圖如下圖所示： 下面利用線性二 次最優(yōu)控制 LQR 方法對系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì) clear。clc。 k12=。k