高斯消去法的理論總結(jié)與應(yīng)用——課程設(shè)計(編輯修改稿)
2025-04-05 08:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ），常數(shù)項 b=（ ib ）； Step2 for k:=1 to n { for i:=k+1 to n {計算乘子ikkkikik aaam ?? for j:=k+1 to n { 消 元 計 算 （ kjij ma aik ija? }，（ kiki bmb ） ib? } } Step3 for i:=n to 1 { 回代 求解 } Step4 輸出方程組的解 ix ， i=1,2,3， … ,n 上述過程實現(xiàn)的條件是 A的各階順序主子式 ，0k?? k=1,2， … ,n. 167。 高斯消去法的計算量 定理 高斯消去法求解 n 階線性方程組共需要乘除法次數(shù)近似為 3n31 . 在消元過程中，第 k 次消元 需要 nk 次除法，（ nk）（ nk+1）次乘法和（ nk）（ nk+1）次加減法，因此消元過程計算量為 除法次數(shù) ）（）（ 1nn21kn1n 1k ??? 乘法次數(shù) ）（）（）（ 1nn311knkn 21n 1k ???? 加減法次數(shù) ）（）（）（ 1nn311knkn 21n 1k ???? 在回代過程中，計算 ix ，需要 1次除法， ni次乘法和 ni次加減法，因此回代過程計算量為 除法次數(shù) n 乘法次數(shù) ）（）（ 1nn21inn 1i ??? 加減法次數(shù) ）（）（ 1nn21inn 1i ??? iin1i jijii axabx ???????? ?? ???j 5 167。 高斯列主元消去法 167。 簡單介紹 以上介紹的高斯消去法，消元變換是依照原方程組中方程未知元的既定排列順序逐次進行的，不妨稱之為按自然順序消元，盡管方程組系數(shù)矩陣非奇異是方程組有唯一解的充分必要條件，但是不能保證各主元素皆不為零，所以按自然順序消元不總是可行的 .如果 主元素 ）（ kkka 與第 k 列對角線下方元素 ）（）（）（ ， kknk k2kk k1k aaa ??? 相比， ）（ kkka 的絕對值甚小（此時成為小主元），勢必導(dǎo)致消元因子絕對值甚大，從而使誤差在傳播中失去控制，要想獲得可靠計算結(jié)果是不可能的 . 為了避免按自然順序消元的上述弊病，可以采用選主元措施，即所謂的高斯列主元消去法 . 167。 基本思想 為了使消元過程不至于中斷和減小舍入誤差的影響，我們不按自然順序進行消元，就是說，不逐次選取主對角元素作主元，假設(shè) 已經(jīng)進行了 k1 次消元，得方程組 ）（）（ kk bxA ? 增廣矩陣 ? ????????????????????????????）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（k1nnknnknkk1nkkknkkk1n22n22k222211n11n11k1112111kkaaaaaaaaaaaaaaabA????????????? ， 比較 ）（ kA 中第 k列對角元及其下方元素 ）（ kkka ， ）（）（）（ ， kknk k2kk k1k aaa ??? 若 ）（）（ kkinikkkr amaxa ??? 則取 ）（ kkra 作主元，并且在進行第 k 步消元之前交換矩陣的第 k 行與第 r 行 ,可能有若干個不同的 i值使 ）（ 1kika 為最大值，則取 r 為這些 i 值中的最小者，經(jīng)過這樣修改的消元法稱為高斯列主元消元法 . 6 167。 算法描述 Step1 輸入方程組的階數(shù)；增廣矩陣 ? ?bA， Step2 對 k=1,2， … ,n做如下步驟 36 Step3 選主元；求 ki 使iknikkik amaxa ???， Step4 若 kika， =0，停機 Step5 若 kik? ，則 jikkjikkj ataata ，；； ??? （交換增廣矩陣的第 ki 行與第 k行） Step6 ikkkikik aaal ?? Step7 對 j=k+1,… ,n+1, ijkjik aa ?aa ij Step8 nnnnn xaa ??1, Step9 對 k=n1， … ,1,kkkn1kj jkj1nk xaxaa ????????? ????， Step10 輸出解（ n21 xxx ，， ? ） 167。 其他的高斯消去法 167。 高斯全主元消去法 應(yīng)用高斯列或行主元消去法解一個線性方程組時，在消元過程中選取主元后作行或列交換不會改變前面各步消為零的元素的分布情況 .據(jù)此，在消元過程的第 k 步，我們可以從系數(shù)矩陣的最后 nk+1 行和列中選取絕對值最大的元素作主元，即若 ）（，）（ ， 1kijnjik1k jkik am a xa ??? ， 則選取 ）（ ， 1kjkika 作主元并且在消元之前交換增廣矩陣的第 k 行與第 ki 行，以及第 k列與第 kj 列，經(jīng)過這樣修改的高斯消去法稱為高斯全主元消去法 . 167。 高斯 約當消元法 7 解線性方程組的高斯 約當消去法實際上是無回代過程的高斯消去法 .為了不進行回代過程，只要在消元過程的每一步將主列中除主元以外的其余元素均消去為零 .在實際計算中，第 k步消元之前不必將主元交換到（ k， k）位置上，可以根據(jù)每一步選取的主元所在位置找出方程組的解 . 容易推出高斯 約當?shù)挠嬎愎?.我們將方程組的右端項記作 1nia ?， ， i=1， 2， … ,n,并設(shè)第 k 步選取的主元為 ）（ ， 1kkika ，則在消元過程中有 n2,1k1nnkjaa1nn1kjn1 , 2iamaaii2,1i0aiin2,1iaam1kjikkjik1kjikik1kijkijkkikk1kkik1kikik，，，，，，，，，）（，）（，）（，）（）（）（）（，）（?????????????????????????????? 其中 1n2,1jn2,1iaa ij0ij ???? ?? ，，，）（
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