41gauss消去法(編輯修改稿)
2024-11-17 16:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 iiiii aaaaaaaaaD ?????,0 )(22)(12)(11)( ???????mmmmAAAA 用歸納法證充分性。 k=1時，命題顯然成立。設(shè)命題對 m1成立。 現(xiàn)設(shè) 由歸納假設(shè)有 Gauss 消去法可進(jìn)行第 m1步，矩陣 A變換為 ,2,1,0d e t miAD ii ???? .1,2,1,0)( ??? mia iii ?第四章方程組的直接解法 其中 是對角元素為 的上三角陣。 因 是通過消元過程由 A逐步經(jīng)初等變換得到的， A的 m 階順序主子式等于 的 m 階順序主子式，即 由 可推出 ，定理得證。 )(11mA )()1(1,1)2(22)1(11 , mmmmmm aaaa ????)(mA)(11mA)()1(1,1)2(22)1(11 , mmmmmm aaaa ????0?mD 0)( ?mmma 定理 在方程組 Ax=b中， A非奇異，則當(dāng) A的所有順序主子式均不為零時，可用 Gauss消去法求解出方程組的解。 特別地，若 A為對稱正定矩陣，則由對稱正定矩陣的性質(zhì)可知，對原方程組不必作任何處理，可直接 Gauss消去法求解方程組。 下面將消元過程用矩陣運算表示。對第 k步，利用（ ）給出的乘數(shù) ，記 ，又記 為第 k 個分量為 1的單位向量，令 Tnkkkk lll ),0,0( ,1)( ?? ?? Tke )0,0,1,0,0( ???ikl,1111,1)()(??????????????????????????nkkkTkkkllelIL???() 第四章方程組的直接解法 不難驗證 即 IelIelIelIelI TkkTkkTkkTkk ?????? ))(())(( )()()()(Tkkk elIL )(1 ??? 利用矩陣（ ），第 k步消元過程相當(dāng)于 這樣經(jīng)過 n1步消元過程得到 ,)()1(121)()1(121nnnnnnbbLLLAALLL????????).,(),( )1()1()()( ??? kkkkk bAbAL這里， 是上三角陣。記 ，又記 )(nA )( nAU ?,1111)(1,213231211121??????????????????????nnnnnnllllllLLLL??????第四章方程組的直接解法 這種矩陣稱為單位下三角陣。 L的對角線以下各元素就是各步消元過程的乘數(shù)。最后我們得到 A=LU （ ） 稱該式為 A的 LU分解。 定理 矩陣 ，若其順序主子式 皆非零，則存在唯一的單位下三角陣 L和上三角陣 U，使 A=LU。 nnRA ?? ),2,1( niDi ??其中， 都是單位下三角陣， 都是上三角陣。因 A非奇異， 則 都可逆。 A左乘 ，右乘 即得 因 仍為上三角陣， 也是上三角陣，同理是單位下三角陣，所 以只能有 即 。定理得證 證 以上的分析已證明了 A可作 LU分解，下面證明分解的唯一性。設(shè) A有兩個分解式 ,~~ ULLUA ??~~ , UULL~,LL ~,UU~1?U ~1?UU,~1~ 1 ILLUU ?? ??.~1~ 1 LLUU ?? ?1?L ~1?U~~ ., LLUU ??第四章方程組的直接解法 分解式（ ）也稱為 Doolittle分解。由（ ）式可求出 A的行列式，即 若將上三角 U寫成 ，其中 D是對角陣， 是單位上三角陣，則有 稱該式為 A的 LDU分解，顯然，這種分解具有唯一性。 .d e t )()2(22)1(11 nnnaaaA ??~UDU ?~ULDA ?~U（ ） 主元素消去法 在以上的 Gauss消去法中，消元過程能進(jìn)行的條件是主元素 。例如，若 ，消去過程的第 1步就不能進(jìn)行。有時雖然 但是 很小，這時計算過程的舍入誤差會導(dǎo)致消去法數(shù)值不穩(wěn)定，以致結(jié)果不可靠。 ,1,0)( ?? ia iii 1,2 ?n? 011?a,0)( ?iiia )(iiia例 用三位十進(jìn)制浮點運算求解 ???????? ?.,21215xxxx第四章方程組的直接解法 解 這個方程組的準(zhǔn)確解顯然應(yīng)接近 .但是系數(shù) 是 個小主元，如果用 Gauss消去法求解，則有 T),( 11a.,5132323)2(235122122)2(225112121?????
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