高斯消去法的理論總結(jié)與應(yīng)用——課程設(shè)計-文庫吧資料
2025-03-08 08:38本頁面
【正文】 數(shù)值分析 [M].北京 :清華大學(xué)出版社 .2021年 [5]楊鳳翔 . 數(shù)值分析 [M].天津 :天津大學(xué)出版社 .1996年 [5]楊泮池 . 計算方法 [M].西安 :西安交通大學(xué)出版社 .2021年 13 附錄 A 順序高斯消去法 C 語言編程 順序高斯消去法的 C語言程序 include include define N 30 main() { int i,k,j,n。 順序高斯消去法的應(yīng)用舉例 下面以一個簡單的例子來說順序高斯消去法在解線性方程組方面的應(yīng)用 . 例 ????????????7x2x4x5x2x41x3xx221321321 及其增廣矩陣 ??????????702145241312 消元過程的第一步是第一個方程不動；確定第 2,3 個方程的系數(shù)，即將第 2,3個方程 1x 項系數(shù)除以第一個方程 1x 項系數(shù)，得到乘數(shù) 3121 ???? ， 用第 2,3 個方程減去其乘數(shù) 3121 mm ， 乘以第 1個方程，這樣就消去了第 2,3 個方程的1x 項，于是有等價方程組 ????????? .5 x2xx41x3xx23232321 相應(yīng)的，增廣矩陣化為 ????????????2141312 消元過程的第二步是第 1,2 個方程不動；確定第 3 個方程的乘數(shù)，即將第 3 個方程 2x 項系數(shù)除以第二個方程 2x 項系數(shù)，得到乘數(shù) 32 ?? 用第 3個方程減去其乘數(shù) 31m 乘以第 2 個方程，這樣就消去了第三個方程的 2x 項，于 9 是有等價方程組 ????????? .8 7 5 x2xx41x3xx2332321 相應(yīng)的，增廣矩陣化為 ????????????2141312 這樣，消元過程就把原方程組化為上三角形方程組，系數(shù)矩陣成為上三角矩陣 . 回代過程是將上三角形方程組自下而上求解，從而得出 9x1x6x 123 ??? ， 其上機程序見附錄 A. 167。 高斯 約當(dāng)消元法 7 解線性方程組的高斯 約當(dāng)消去法實際上是無回代過程的高斯消去法 .為了不進行回代過程，只要在消元過程的每一步將主列中除主元以外的其余元素均消去為零 .在實際計算中，第 k步消元之前不必將主元交換到（ k， k）位置上，可以根據(jù)每一步選取的主元所在位置找出方程組的解 . 容易推出高斯 約當(dāng)?shù)挠嬎愎?.我們將方程組的右端項記作 1nia ?， ， i=1， 2， … ,n,并設(shè)第 k 步選取的主元為 ）（ ， 1kkika ，則在消元過程中有 n2,1k1nnkjaa1nn1kjn1 , 2iamaaii2,1i0aiin2,1iaam1kjikkjik1kjikik1kijkijkkikk1kkik1kikik，，，，）（，）（，）（，）（）（）（）（，）（?????????????????????????????? 其中 1n2,1jn2,1iaa ij0ij ???? ?? ，）（ . 方程組的解為 n2,1kaax k kikn 1nikk ，）（ ，）（ ， ??? ? . 8 第二章 高斯消去法的應(yīng)用 167。 其他的高斯消去法 167。 基本思想 為了使消元過程不至于中斷和減小舍入誤差的影響，我們不按自然順序進行消元，就是說，不逐次選取主對角元素作主元，假設(shè) 已經(jīng)進行了 k1 次消元，得方程組 ）（）（ kk bxA ? 增廣矩陣 ? ????????????????????????????）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（k1nnknnknkk1nkkknkkk1n22n22k222211n11n11k1112111kkaaaaaaaaaaaaaaabA????????????? ， 比較 ）（ kA 中第 k列對角元及其下方元素 ）（ kkka ， ）（）（）（ ， kknk k2kk k1k aaa ??? 若 ）（）（ kkinikkkr amaxa ??? 則取 ）（ kkra 作主元，并且在進行第 k 步消元之前交換矩陣的第 k 行與第 r 行 ,可能有若干個不同的 i值使 ）（ 1kika 為最大值，則取 r 為這些 i 值中的最小者，經(jīng)過這樣修改的消元法稱為高斯列主元消元法 . 6 167。 高斯列主元消去法 167。 高斯消去法的算法描述 Step1 輸入方程組的階數(shù) n，方程組系數(shù)矩陣 A=（ ija ），常數(shù)項 b=（ ib ）； Step2 for k:=1 to n { for i:=k+1 to n {計算乘子ikkkikik aaam ?? for j:=k+1 to n { 消 元 計 算 （ kjij ma aik ija? }，（ kiki bmb ） ib? } } Step3 for i:=n to 1 { 回代 求解 } Step4 輸出方程組的解 ix ， i=1,2,3， … ,n 上述過程實現(xiàn)的條件是 A的各階順序主子式 ，0k?? k=1,2， … ,n. 167。 初等矩陣的變換 定義 初等矩陣對 應(yīng)著 3 種不同的行 /列變換 . ○1互換行 /列： ji RR ? 這一變換 ijT ，將一單位矩陣的第 i 行的所有元素與第 j 行互換 . ???????????????????????101101T ij??? ○2把某行 /列乘以一非零常數(shù)： ，ii RkR ? 其中 k? 0 這一變換 Ti(m)，將第 i 行的所有元素乘以一非零常數(shù) m. ○ 3 把
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