【文章內(nèi)容簡介】 我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為 A，其證明方法是怎樣的呢 ？ a):先任取 ε ＞ 0； b):寫出不等式 ＜ ε ； c):解不等式能否得出去心鄰域 0＜ ＜ δ ，若能； d):則對于任給的 ε ＞ 0，總能找出 δ ，當 0＜ ＜ δ 時， ＜ ε 成立，因此 函數(shù)極限的運算規(guī)則 前面已經(jīng)學習了數(shù)列極 限的運算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運算規(guī)則與數(shù)列極限的運算規(guī)則相似。 ⑴、 函數(shù)極限的運算規(guī)則 若已知 x→x 0(或 x→∞) 時， . 則： 推論： 在求函數(shù)的極限時，利用上述規(guī)則就可把一個復(fù)雜的函數(shù)化為若干個簡單的函數(shù)來求極限。 例題： 求 解答： 例題： 求 此題如果像上題那樣求解，則會發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在 .我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的 分子和分母都沒有極限 ，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。 解答： 注： 通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當分式的 分子和分母都沒有極限時就不能運用商的極限的運算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運用規(guī)則求之。 函數(shù)極限的存在準則 學習函數(shù)極限的存在準則之前，我們先來學習一下左、右的概念。 我們先來看一個例子： 例 ：符號函數(shù)為 對于這個分段函數(shù) ,x 從左趨于 0 和從右趨于 0 時函數(shù)極限是不相同的 .為此我們定義了左、右極限的概念。 定義： 如果 x僅從左側(cè) (x＜ x0)趨近 x0時，函數(shù) 與常量 A無限接近，則稱 A為函數(shù) 當時的 左極限 .記： 如果 x 僅從右側(cè) (x＞ x0)趨近 x0時，函數(shù) 與常量 A 無限接近，則稱 A 為函數(shù) 當 時的 右 極限 .記： 注： 只有當 x→x 0時，函數(shù) 的左、右極限存在且相等，方稱 在 x→x 0時有極限 函數(shù)極限的存在準則 準則一： 對于點 x0 的某一鄰域內(nèi)的一切 x， x0 點本身可以除外 (或絕對值大于某一正數(shù)的一切 x)有≤ ≤ ，且 ， 那末 存在，且等于 A 注： 此準則也就是夾逼準則 . 準則二： 單調(diào)有界的函數(shù)必有極限 . 注： 有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界 兩個重要的極限 一 ： 注： 其中 e 為無理數(shù)，它的值為： e=... 二： 注： 在此我們對這兩個重要極限不加以證明 . 注： 我們要牢記這兩個重要極限，在今后的解題中會經(jīng)常用到它們 . 例題： 求 解答： 令 ，則 x=2t，因為 x→∞ ，故 t→∞ ， 則 注： 解此類型的題時，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象 x→∞ 時，若用 t代換 1/x，則 t→0. 無窮大量和無窮小量 無窮大量 我們先來看一個 例子 ： 已知函數(shù) ，當 x→0 時，可知 ，我們把這種情況稱為 趨向無窮大。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù) y= ，在 x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù) N(一個任意大的數(shù) )，總可找到正數(shù) δ ，當 時， 成立，則稱函數(shù)當 時為 無窮大量 。 記為： （表示為無窮大量，實際它是沒有極限的） 同樣我們可以給出當 x→∞ 時， 無限趨大的定義：設(shè)有函數(shù) y= ，當 x 充分大時有定義，對于任意給定的正數(shù) N(一個任意大的數(shù) )，總可以找到正數(shù) M，當 時， 成立，則稱函數(shù)當 x→∞ 時是 無窮大量 ，記 為： 無窮小量 以零為極限的變量稱為 無窮小量 。 定義： 設(shè)有函數(shù) ，對于任意給定的正數(shù) ε (不論它多么小 )，總存在正數(shù) δ (或正數(shù) M)，使得對于適合不等式 (或 )的一切 x，所對應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式 ，則稱函數(shù) 當 (或 x→∞) 時 為 無窮小量 . 記作： (或 ) 注意 ：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有 0 可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于 為倒數(shù)關(guān)系的 . 關(guān)于無窮小量的兩個定理 定理一： 如果函數(shù) 在 (或 x→∞) 時有極限 A，則差 是 當 (或x→∞) 時的無窮小量，反之亦成立。 定理二： 無窮小量的有利運算定理 a)：有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量； b)：有限個無窮小量的積仍是無窮小量； c)：常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量 . 無窮小量的比較 通過前面的學習我們已經(jīng)知道，兩個無窮小量的和、差及乘積仍舊是無窮小 .那么 兩個無窮小量的商會是怎樣的呢？ 好！接下來我們就來解決這個問 題，這就是我們要學的兩個無窮小量的比較。 定義： 設(shè) α ， β 都是 時的無窮小量，且 β 在 x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零， a)：如果 ，則稱 α 是 β 的 高階無窮小 或 β 是 α 的 低階無窮小 ； b)：如 果 ，則稱 α 和 β 是 同階無窮小 ； c)：如果 ，則稱 α 和 β 是等價無窮小，記作： α∽β(α 與 β 等價 ) 例： 因為 ，所以當 x→0 時， x 與 3x是同階無窮??； 因為 ，所以當 x→0 時， x2是 3x的高階無窮??； 因為 ，所以當 x→0 時， sinx與 x是等價無窮小。 等價無窮小的性質(zhì) 設(shè) ，且 存在，則 . 注： 這個性質(zhì)表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可以利用這個性質(zhì)來簡化求極限問題。 例題： 解答： 當 x→0 時， sinax∽ ax， tanbx∽ bx，故： 例題： 解答： 注： 注： 從這個例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時，要代換式中的某一項，不能只代換某個因子。 函數(shù)的一重要性質(zhì) —— 連續(xù)性 在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的 .這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的 連續(xù)性 在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學習一個概念 —— 增量 設(shè)變量 x 從它的一個初值 x1變到終值 x2，終值與初值的差 x2x1就叫做 變量 x 的增量 ，記為： △ x即：△ x=x2x1 增量 △ x 可正可負 . 我們再來看一個例子：函數(shù) 在點 x0的鄰域內(nèi)有定義，當自變量 x 在領(lǐng)域內(nèi)從 x0變到 x0+△ x時，函數(shù) y 相應(yīng)地從 變到 ，其對應(yīng)的增量為： 這個關(guān)系式的幾何解釋如下圖： 現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當 △ x 趨向于零時，函數(shù) y 對應(yīng)的增量 △ y 也趨向于零，即：， 那末就稱函數(shù) 在點 x0處連續(xù) 。 函數(shù)連續(xù)性的定義： 設(shè) 函數(shù) 在點 x0 的某個鄰域內(nèi)有定義，如果有 稱函數(shù) 在點x0處 連續(xù) ，且稱 x0為函數(shù)的 的 連續(xù)點 . 下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學習一下 函數(shù)左、右連續(xù) 的概念：設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 (a,b]內(nèi)有定義，如果左極限 存在且等于 ，即： = ，那末我們就稱函數(shù)在點 b 左連續(xù) .設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 [a,b)內(nèi)有定義，如果右極限 存在且等于 ，即：= ，那末我們就稱函數(shù) 在點 a 右連續(xù) . 一個函數(shù)在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)每點連續(xù) ,則為在 (a,b)連續(xù)，若又在 a 點右連續(xù)， b 點左連續(xù)，則在閉區(qū)間[a， b]連續(xù)，如果在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為 連續(xù)函數(shù) 。 注： 一個函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點連續(xù)，否則在此點不連續(xù) . 注： 連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。 通過上面的學習我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時我們可以想到若函數(shù)在某一點要是不連續(xù)會出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學習這個問題： 函數(shù)的間斷點 函數(shù)的間斷點 定義： 我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點稱之為 間斷點 . 它包括三種情形： a)： 在 x0無定義； b)： 在 x→x 0時無極限； c)： 在 x→x0時有極限但不等于 ； 下面我們通過例題來學習一下間斷點的類型： 例 1： 正切函數(shù) 在 處沒有定義，所以點 是函數(shù) 的間斷點，因，我們就稱 為函數(shù) 的 無窮間斷點 ； 例 2： 函數(shù) 在點 x=0處沒有定義；故當 x→0 時，函數(shù)值在 1 與 +1 之間變動無限多次，我們就稱點 x=0 叫做函數(shù) 的 振蕩間斷點 ； 例 3： 函數(shù) 當 x→0 時，左極限 ，右極限 ，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點 x=0 是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點 x=0 時，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點稱為 跳躍間斷點 ；我們把上述三種間斷點用幾何圖形表示出來如下 : 間斷點的分類 我們通常把間斷點分成兩類：如果 x0是函數(shù) 的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把 x0稱為函數(shù) 的 第一類間斷點 ；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為 第二類間斷點 . 可去間斷點 若 x0是函數(shù) 的間斷點，但極限 存在，那末 x0是函數(shù) 的第一類間斷點。 此時函數(shù)不連續(xù)原因是： 不存在或者是存在但 ≠ 。我們令 ，則可使函數(shù) 在點 x0處連續(xù)，故這種間斷點 x0稱為 可去間斷點 。 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性 我們通過函數(shù) 在某點連續(xù)的定義和極限的四則運算法則，可得出以下結(jié)論： a)：有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點連續(xù)的函數(shù)； b)：有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個在該點連續(xù)的函數(shù)； c)：兩個在某點連續(xù)的函數(shù)的商是一個在該點連續(xù)的函數(shù) (分母在該點不為零 )； 反函數(shù)的連續(xù)性 若函數(shù) 在某區(qū)間上單調(diào)增 (或單調(diào)減 )且連續(xù)，那末它的反函數(shù) 也在對應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增 (單調(diào)減 )且連續(xù) 例： 函數(shù) 在閉區(qū)間 上單調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù) 在閉區(qū)間 [1,1]上也是單調(diào)增且連續(xù)的 。 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)函數(shù) 當 x→x 0時的極限存在且等于 a，即： .而函數(shù) 在點 u=a連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù) 當 x→x 0時的 極限也存在 且等于 .即： 例題： 求 解答： 注：函數(shù) 可看作 與 復(fù)合而成，且函數(shù) 在點 u=e連續(xù)，因此可得出上述結(jié)論。 設(shè)函數(shù) 在點 x=x0連續(xù)，且 ，而函數(shù) 在點 u=u0連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)在點 x=x0也是連續(xù) 的 初等函數(shù)的連續(xù)性 通過前面我們所學的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論： 基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的 . 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點右連續(xù)，右端點左連續(xù) .對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來學習一下： 最大值最小值定理 ： 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。 (在此不作證明 ) 例： 函數(shù) y=sinx 在閉區(qū)間 [0， 2π] 上連續(xù)，則在點 x=π/2 處，它的函數(shù)值為 1，且大于閉區(qū)間 [0， 2π]上其它各點出的函數(shù)值；則在點 x=3π/2 處，它的函數(shù)值為 1，且小于閉區(qū)間 [0， 2π] 上其它各點出的函 數(shù)值 。 介值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點的函數(shù)值間的任何值。即：， μ 在 α 、 β 之間，則在 [a， b]間一定有一個 ξ ，使 推論： 在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù) 必取得介于最大值最小值之間的任何值。 二、導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)的概念 在學習到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學中變速直線運動的瞬時速度的問題。 例 ： 設(shè)一質(zhì)點沿 x 軸運動時，其位置 x 是時間 t 的函數(shù)， ，求質(zhì)點在 t0的瞬時速度？我們知道時間從 t0有增量 △t 時，質(zhì)點的位置有增量 ，這就是質(zhì)點在時間段 △t 的位移。因此，在此段時間內(nèi)質(zhì)點的平均速度為： .若質(zhì)點是勻速運動的則這就是在 t0的瞬時速度，若質(zhì)點是非勻速直線運動，則這還不是質(zhì)點在 t0時的瞬時速度。我們認為當時間段 △t 無限地接近于 0 時，此平 均 速 度 會 無 限 地 接 近 于 質(zhì) 點 t0 時的 瞬 時 速 度 ， 即 ： 質(zhì) 點 在 t0 時 的 瞬 時 速 度= 為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如下： 導(dǎo)數(shù)的定義 ： 設(shè)函數(shù) 在點 x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當自變量 x 在 x0處有增量 △x(x+△x 也在該鄰域內(nèi) )時， 相應(yīng)地函數(shù)有增量 ，若 △y 與 △x 之比當 △x→0 時極限存在，則稱這個極限值為 在 x0處的 導(dǎo)數(shù) 。記為： 還可記為： ， 函數(shù) 在點 x0處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù) 在點 x0處 可導(dǎo) ，否則不可導(dǎo)。若函數(shù) 在區(qū)間 (a,b)內(nèi)每一點都可導(dǎo)，就稱函數(shù) 在區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時函數(shù) 對于區(qū)間 (a,b)內(nèi)的每一個確定的 x 值，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們就稱這 個函數(shù)為原來函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)。 注 ： 導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限 左、右導(dǎo)數(shù) 前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限存在，我 們就稱它為函數(shù) 在 x=x0處的 左導(dǎo)數(shù) 。若極限 存在，我們就稱它為 函數(shù) 在 x=x0處的 右導(dǎo)數(shù) 。 注： 函數(shù) 在 x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù) 在 x0處的可導(dǎo)的充分必要條件 函數(shù)的和、差 求導(dǎo)法則 函數(shù)的和差求導(dǎo)法則 法則： 兩個可導(dǎo)函數(shù)的和 (差 )的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和 (差 ).用公式可寫為：。其中 u、 v 為可導(dǎo)函數(shù)。 例題 ： 已知 ，求 解答： 例題： 已知 ，求 解答： 函數(shù)的積商求導(dǎo)法則 常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則 法則： 在求一個常數(shù)與一個可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號外面去。用公式可寫成： 例題： 已知 ，求 解答： 函數(shù)的積的求導(dǎo)法則 法則： 兩個可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成： 例題： 已知 ，求 解答： 注： 若 是三個函數(shù)相乘，則先把其中的兩個看成一項。 函數(shù)的商的求導(dǎo)法則 法則： 兩個可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成： 例題： 已知 ，求 解答： 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 在學習此法則之前我們先來看一個例子 ! 例題： 求 =? 解答： 由于 ，故 這個解答 正確嗎 ? 這個解答是錯誤的 ， 正確的解答 應(yīng)該如下： 我們發(fā)生錯誤的原因是 是對自變量 x 求導(dǎo)，而不是對 2x 求導(dǎo)。 下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則 規(guī)則： 兩個可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對自變量的導(dǎo)