【文章內容簡介】 通行能力可改善整個城市的交通狀況 .在一般情況下，大橋上的車流速度 v (單位：千米 /小時 )是車流速度 x （單位：輛 /千米）的函數(shù) .當橋上的的車流密度達到 200 輛 /千米時，造成堵塞，此時車流速度為 0；當車流密度不超過 20輛 /千米時，車流速度為 60千米 /小時，研究表明；當 20 200x??時，車流速度 v 是車流密度 x 的一次函數(shù) . （Ⅰ）當 0 200x?? 時，求函數(shù) ??vx的表達式 。 （Ⅱ）當車流密度 x 為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀點的車輛數(shù)，單位：輛 /每小時） ( ) ( )f x x v x?? 可以達到最大，并求最大值（精確到 1 輛 /每小時） 【思路點撥】 (1)由車流密度不超過 20 輛 /千米時，車流速度為 60 千米 /小時，可得 0 20x?? 時， ( ) 60vx? ；又 20 200x?? 時，車流速度 v 是車流密度 x 的一次函數(shù)，設 ()v x ax b??，利用 200x? 時 0v? 及 20x? 時 60v? 可求出 ,ab，據(jù)此可求 ()vx表達式 .（ 2） ()fx是關于 x 的分段函數(shù)，求出每段的最大值，再比較可得 ()fx的最大值 . 【精講精析】 （Ⅰ）由題意：當 200 ??x 時， ? ? 60?xv ；當 20200 ??x 時，設 ? ? baxxv ?? ，顯然 ? ? baxxv ?? 在 ? ?200,20 是減函數(shù)，由已知得 ??? ?? ?? 6020 0200 ba ba ，解得??????????320031ba 故函數(shù) ??xv 的表達式為 ??xv = ? ???????????.20200,20201,200,60xxx （Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得 ???xf ? ???????????.20200,20201,200,60xxxxx 當 200 ??x 時， ??xf 為增函數(shù)，故當 20?x 時，其最大值為 12020200 ?? ； 當 20200 ??x 時， ? ? ? ? ? ?31 00 0022 00312 00312 ??????? ????? xxxxxf， 當且僅當 xx ??200 ，即 100?x 時，等號成立 ． 所以，當 100?x 時， ??xf 在區(qū)間 ? ?200,20 上取得最大值310000． 綜上，當 100?x 時， ??xf 在區(qū)間 ? ?200,0 上取得最大值 3333310000 ? ， 即當車流密度為 100 輛 /千米時，車流量可以達到最大，最大值約為 3333 輛 /小時 ． 考點 8 等差數(shù)列及其性質 一、選擇題 1.（ 2020全國高考理科Ｔ 4） 設 nS 為等差數(shù)列 ??na 的前 n 項和，若 1 1a? ，公差 2d? ， 2 24kkSS? ??，則 k? （ A） 8 （ B） 7 （ C） 6 （ D） 5 【思路點撥 】 思路一：直接利用等差數(shù)列的前 n 項和公式建立關于 k 的方程解之即可 . 思路二：利用 2 2 1k k k kS S a a? ? ?? ? ?然后再利用等差數(shù)列的通項公式即可求解，運算稍簡 . 【精講精析】 選 D. 2 2 1 12 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 2 4 5 .k k k kS S a a a k d k k? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.（ 2020四川高考理科Ｔ 8） 數(shù)列 ??na 的首項為 3， ??nb 為等差數(shù)列且1 ()n n nb a a n N ??? ? ?,若 3 102, 12bb?? ? ,則 8a? （ ） . （ A） 0 （ B） 3 (C) 8 （ D） 11 【思路點撥】 先求出數(shù)列 ??nb 的 首項和公差，再用累加法求 【精講精析】 選 B. 數(shù)列 ??nb 的公差 1 0 3 1 2 ( 2 =21 0 3 7bbd ? ????? ）， 首項 13 2 2 ? ? ? ? ?則 8 7 7,a a b?? 7 6 6,a a b?? 6 5 5,a a b?? ?? ， 2 1 1,a a b?? 將以上各式相加得， 8 1 7 6 5 1...a a b b b b? ? ? ? ? ?，∵ ??n 為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前 n 項和公式得7 6 5 1 7 ( 7 1 ).. . = 7 ( 6 ) 2 0 .2b b b b ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ 810,aa??即 ??故 選 B. （ 2020重慶高考文科 T1） 在等差數(shù)列 ??na 中 , 4,2 32 ?? aa ,則 ?10a ( ) (A)12 (B)14 (C)16 (D)18 【思路點撥】 先根據(jù)條件求出公差 ,然后再求 10a 的值 . 【精講精析】 選 ,公差 224 ???d ,所以 .181628210 ????? daa ??故 選 B. 二、填空題 4.（ 2020湖北高考理科 T13） 《九章算術》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根 9 節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面 4 節(jié)的容積共為 3 升，下面 3節(jié)的容積共 4 升，則第 5 節(jié)的容積為 升 . 【思路點撥】 設出自上而下各節(jié)的容積構成的等差數(shù)列，則該數(shù)列的前 4 項和為 3，后 3 項和為 4，而所求結果為第 5 項 . 【精講精析】 設自上而下各節(jié)的容積構成的等差數(shù)列為 1 2 3 4 5 6 7 8 9, , , , , , , , .a a a a a a a a a 則 1 2 3 4 17 8 9 14 6 3 .3 2 1 4a a a a a da a a a d? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??解得 11322,766ad? ????? ??? 故51 a d? ? ? 【答案】 5. (2020重慶高考理科 T11)在等差數(shù)列 ??na 中 , 3773 ??aa ,則???? 8642 aaaa 高考資源網(www.ks5u.com) 【思路點撥】 根據(jù)等差數(shù)列的性質可知 37736482 ?????? aaaaaa ,進而可求出結果 . 【精講精析】 由等差數(shù)列的性質可知 37736482 ?????? aaaaaa , 所以 742378642 ?????? aaaa . 答案： 74 考點 9 等比數(shù)列及其性質 一、選擇題 （ 2020上海高考理科 T18） 設 {}na 是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列， iA 是邊長為1,iiaa? 的矩形的面積（ 1,2,i? ），則 {}nA 為等比數(shù)列的充要條件是（ ） （ A） {}na 是等比數(shù)列 . （ B） 1 3 2 1, , , ,na a a ? 或 2 4 2, , , ,na a a 是等比數(shù)列 . （ C） 1 3 2 1, , , ,na a a ? 和 2 4 2, , , ,na a a 均是等比數(shù)列 . （ D） 1 3 2 1, , , ,na a a ? 和 2 4 2, , , ,na a a 均是等比數(shù)列，且公比相同 . 【思路點撥】 本題考查數(shù)列知識，通過等比數(shù)列的知識把矩形面積引入其中，只要抓住兩個等比數(shù)列的乘積所得數(shù)列依然是等比數(shù)列的結論就可迎刃而解 . 【精講精析】 答案選 D， n n n 1A a a ?? ，故 2 3 3 3 4 41 2 1 2 3 2a a a a a aa a a a a a? ? ?，只有 1 3 2 1, , , ,na a a ?和 2 4 2, , , ,na a a 同時滿足均是等比數(shù)列，且公比相同，才能保證 {}nA 為等比數(shù)列 . （ 2020四川高考文科Ｔ 9） 數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 ns ，若 111, 3 ( 1 ),nna a s n?? ? ? 則 6a? （ ） . （ A） 434? （ B） 43 4+1? (C) 34 （ D） 34+1 【思路點撥】 (法一 ) 6a 為第 6 項，可依次遞推， 2 1 3 1 2 4 1 2 33 , 3 ( ) , 3 ( ) .a a a a a a a a a? ? ? ? ? ? （法二）利用 12 , ,n n nn a s s ?? ? ?利 用 求數(shù)列 ??na 的通項公式 . 【精講精析】 選 A.(法一 ) 由 111, 3 ( 1 ),nna a s n?? ? ?得 213 =3,aa? 3 1 23 ( ) = 3 1+ 3 = ,a a a?? （ ） 124 1 2 33 ( ) = 3 1 + 3 + 1 2 = 4 8 .a a a a? ? ? （ ） 5 1 2 3 43 ( ) = 3 1 + 3 + 1 2 + 4 8 = 1 9 2 .a a a a a? ? ? ? （ ）46 1 2 3 4 53 ( ) = 3 1 + 3 + 1 2 + 4 8 + 1 9 2 = 3 2 5 6 = 3 4 .a a a a a a? ? ? ? ? ? ?（ ） （法二） ∵ 1 3nnas? ? ① 2n? 時， 13nnas? ② ① ②得 113( )n n n na a s s??? ? ?，即 1 3n n na a a? ?? , 1 4nnaa? ? .特別地，121 4 ( 2) .nnaa naa?? ? ?故數(shù)列 ??na 從第二項起成等比數(shù)列 .由 213 =3,aa? 可知 2n? 時，23 4 .nna ??? 46 3 4 .a ?? 故選 A. 二、解答題 3． （ 2020全國高考文科Ｔ 17） 設等比數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ,已知2 6,a? 136 30,aa?? 求 na 和 nS . 【思路點撥】 解決本題的突破口是利用方程的思想建立關于 a1和公比 q的方程，求出 a1和 q，然后利用等比數(shù)列的通項公式及前 n 項和公式求解即可 . 【精講精析】 設 ??na 的公比為 q,由題設得 121166 30aqa a q??? ??? 解得 1 32aq??? ??或 1 23aq??? ??， 當 1 3, 2aq??時， 13 2 , 3 (2 1)nnnnaS?? ? ? ? ? 當 1 2, 3aq??時， 12 3 , 3 1nnnnaS?? ? ? ?. 4.（ 2020四川高考理科Ｔ 20） 設 d 為非零實數(shù)， 1 2 2 1 1 *1 [ 2 ( 1 ) ] ( )n n n nn n n n na C d C d n C d n C d n Nn ??? ? ? ??? ? ? ? ? （Ⅰ）寫出 1 2 3,a a a 并判斷 ??na 是否為等比數(shù)列 .若是，給出證明； 若不是，說明理由； （Ⅱ）設 ( ),nnb nda n N ???求數(shù)列 ??nb 的前 n 項和 nS . 【思路點撥】 （Ⅰ）先求出數(shù)列 ??na 的通項公式，再用等比數(shù)列的定義加以判斷 . （Ⅱ）先研究數(shù)列 ??nb 的通項公式，再利用求和公式求和 . 【精講精析】 （Ⅰ）由已知可得， 21 2 3(1 ) (1 )， ，a d a d d a d d? ? ? ? ?.當 2, 1nk??時，11kknnkCCn ??? ∴ 0 1 2 2 3 1 1 1 1 1nnn n n n na C d C d C d C d?? ? ? ? ? 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1( ) ( 1 )n n nn n n nd C C d C d C d d d? ? ?? ? ? ? ? ? ?， 11 (1 ) 1，n nn naa d d da ?? ? ? ? ? 由此可見當 1d?? 為常數(shù)， {}na 是以 d 為首項， 1d? 為公比的等比數(shù)列 . 當 1d?? 時， 1 1 0 ( 2) ,， ，na a n? ? ? ?此時數(shù)列 {}na 不是等比數(shù)列 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 1(1 ) ，nna d d?? 21(1 ) .nnb nd d ?? ? ? 2 0 2 1 2 2 2 1( 1 ) 2 ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 1 ) nnS d d d d d d n d d ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 1[ 1 2 ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 1 ) ]即 nnS d d d n d ?? ? ? ? ? ? ? ? ① 當 1d?? 時， 2=? 當 1d?? 時， ①式兩邊同乘 +1d 得 2 1 2 3( 1 ) [ ( 1 ) 2 ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 1 ) ]nnd S d d d d n d? ? ? ? ? ? ? ? ? ?