【文章內(nèi)容簡介】 數(shù)對于觀測信號起到一種濾波器的作用。 對于離散時(shí)間信號，設(shè) x (nT)、 y(nT)、 w(nT) (n=0， 1， … ， NI)的離散傅立葉變換 (DFT)分別為 X(k)、 Y(k)、 W(k)(k=0， 1， … ， N1)，則可得到 （ ） 式中， T 為采樣周期。對于連續(xù)時(shí)間信號，設(shè) x(t)、 y(t)、 w(t)的傅立葉 變換分別為 、 、 ，則 （ ） 13 窗函數(shù)的種類 已經(jīng)知道有很多種類函數(shù)，這里僅介紹幾種代表性的窗函數(shù)。 下面介紹幾種代表性的窗函數(shù)： 如 R= {n︱ n=0,1，．，．， N1），以及 R39。={n︱ n0， nN）等。另外，還介紹 N為奇數(shù)時(shí)， 僅將信號 序列平移 (N1)/2，并設(shè)： 時(shí)的窗函數(shù)。式中 T 為采樣周期。 1) 矩形窗 (rectangular window) () () () () 14 圖 矩形窗的幅頻特性 2) 漢明窗 (Hamming window) () () () () 3) 漢恩窗 (hann window) () () 15 () () 4) 布萊克曼窗 (Blackman window) () () () () 5) 道爾夫一切比雪夫窗 (DolphChebyshev window) 反復(fù)利用下式進(jìn)行計(jì)算，就可以確定道爾夫 — 切比雪夫窗的系數(shù) （ ） （ ） 16 () () () 式中，設(shè) N 為奇數(shù)，則 M=（ N1） /2。 及 分別表示 M 階切比雪夫多項(xiàng)式。并且 ? 可用下式表示： （ ） 式（ ）的 ? 是為使主瓣幅度為矩形窗的 ? 倍，即為 4? π/（ 2M+1）而引入的參數(shù)。 當(dāng)旁瓣 的最大值固定時(shí)，道爾夫 切比雪夫可使主瓣幅度為最小。另外，該 函數(shù)的特點(diǎn)是所有的旁瓣振幅都相等。 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果 采用矩形窗設(shè)計(jì)一個(gè) FIR 數(shù)字低通濾波器。該濾波器的通帶截止頻率 4?? ?C ，單位脈沖響應(yīng) h(n)的長度 M= 500。 M=500。 wc=pi/4。 n=0:M1。 r=floor((M1)/2)。 nr=nr+eps*((nr)==0)。 hdn=sin(wc*nr)/pi./nr。 if rem(M,2)~=0 hdn(r+1)=wc/pi。 end wn1=boxcar(M)。 hn1=hdn.*wn139。 17 subplot(2,1,1)。stem(n,hn1,39。.39。)。 line([0,20],[0,0])。 xlabel(39。n39。),ylabel(39。h(n)39。),title(39。矩形窗設(shè)計(jì)的 h(n)39。)。 %hw1=fft(hn1,512)。 w1=2*[0:511]/512。 %subplot(2,1,2), plot(w1,20*log10(abs(hw1))) [hw1,w]=freqz(hn1,1)。 subplot(2,1,2), plot(w/pi,20*log10(abs(hw1)))。 axis([0,10,10])。 xlabel(39。w/pi39。), ylabel(39。幅度 (dB)39。)。 title(39。幅度特性 (dB)39。)。 圖 M=500時(shí)幅度和幅度特性 N=21。M=1024。 b=fir1(N,boxcar(N+1))。 h=freqz(b,1,M)。 t=0:21。subplot(211)。 stem(t,b,39。.39。)。 18 hold on。plot(t,zeros(1,22))。grid。 f=0::。M1=M/4。 subplot(212)。plot(f,abs(h))。grid。 圖 M=1024時(shí)幅度和幅頻特性 FIR 濾波器的均方誤差最小準(zhǔn)則設(shè)計(jì) 為利用式 ()和式 ()設(shè)計(jì)線性相位 FIR 濾波器，當(dāng) N 為奇數(shù)時(shí)，定義 () 當(dāng) N 為偶數(shù)時(shí)，定義 （ ） 下面說明當(dāng) hk = ， k=0,1,2…N 1 成立時(shí)的設(shè)計(jì)過程。當(dāng)然， k=0,1,2… ， N1 成立時(shí)，設(shè)計(jì)過程也是完全相同的。 19 假定所希望達(dá)到的幅頻特性為 ，加權(quán)函數(shù)為 ，如將評價(jià)函數(shù)寫成： （ ） 通過以下過程可以求出 為最小時(shí)的優(yōu)化系數(shù)。 當(dāng) N 為奇數(shù)時(shí)，令 當(dāng) N 為偶數(shù)時(shí)，令 則 () 式中 ， T 為轉(zhuǎn)置。 進(jìn)一步令 則 如果對稱矩陣為正則矩陣，求解 （ ） 即可求得優(yōu)化系數(shù)。 另外，對區(qū)間 0≤? ≤π 進(jìn)行適當(dāng)分割，如果著眼于 (k=0,1,…,N 1)的離散點(diǎn)，則可以用 代替評價(jià)函數(shù) ，并用 （ ） 20 式中， K 應(yīng)選擇足夠大的數(shù)。 現(xiàn)在用 表示將 代入時(shí)的 c 值 ，并設(shè) 則可得到 （ ） 因而，因而，如果對稱矩陣 A 是正則矩陣，則可得到與式相同形式的一次聯(lián)立方程，求解該方程即可得到優(yōu)化解。 評價(jià)函數(shù)中使用了加權(quán)函數(shù)，考慮到實(shí)際計(jì)算，希望在不同區(qū)段應(yīng)為不同的 常數(shù)。例如，設(shè)低通濾波器的過渡帶為 假如過渡帶的特性是任意的，則可取 ， ， 。該方法同樣適用于評價(jià)函數(shù)。 FIR 濾波器的最大誤差最小化準(zhǔn)則設(shè)計(jì) 下面我們來討論使通帶及阻帶的波紋最大值為最小的最 大 誤差最小化評 價(jià) 準(zhǔn)則設(shè)計(jì)線性相位 FIR 濾波器的有關(guān)問題。 設(shè)理想幅頻特性為 ,權(quán)函數(shù)為 ，誤差函數(shù)為 則評價(jià)函數(shù)為 （ ） 式中， 與式（ ）或式（ ）中所使用的函數(shù)相同。另外，設(shè)不需做幅頻特性的過渡帶中 ，用 ? 表示需對幅頻特性作評價(jià)的通帶。 當(dāng)通帶的允許波紋為 ，阻帶的允許波紋為 時(shí)，設(shè)通帶的加權(quán)為 1，阻帶的加權(quán)為 ，則可使用通帶和阻帶即在 中 、且允許波紋 時(shí)的設(shè)計(jì)方法。 交錯(cuò)點(diǎn)組原理：設(shè) X 為區(qū)間 ??ba， 上任意閉合子集，對于在 X 上給出的連續(xù) 21 函數(shù) 的最大誤差最小化評價(jià)條件下，如果一般化的多項(xiàng)式 P（ x）是 f（ x）的最優(yōu)近似： 也就是使誤差函數(shù)振幅的最大值 為最小的優(yōu)化近似。優(yōu)化近似的充要條件是當(dāng)誤差函數(shù)為 e(x)=f(x)P(x) 時(shí)， P(x)在 f(x)上至少存在 n+1 個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)。 由于函數(shù)系 （ k=0,1， … M）滿足哈爾條件，所以可用交錯(cuò)點(diǎn)原理求得優(yōu)化解。式中，當(dāng) N 為奇數(shù)時(shí)，取 M=（ N1） /2,N 為偶數(shù)時(shí)取 M=（ N2）/2。 要利用交錯(cuò)點(diǎn)組原理決定 H（ ? ） ,就必須求出式（ ）誤差函數(shù)的絕對值為最大時(shí)的 M+2 個(gè) ? 值， ? = （ i=0,1， … ， M+1）。 假定這些 可以給出最大誤差最小化解，取誤差函數(shù)的振幅為 Q ，即可得 到 （ ） 首先考慮 N 為奇數(shù)時(shí)的情況，此時(shí) M=（ N1） /2，?。? 改寫式（ ）即可得到下面的一次聯(lián)立方程： （ ） 再考慮到函數(shù)系 （ k=0,1， … ， M）滿足哈爾條件，從式（ ）就可以唯一地決定 （ k=0,1， … ， M）以及 Q 值。 當(dāng) （ i=0,1， … ， M+1）給出最大誤差最小化解的優(yōu)化解時(shí)，則式（ ）成立，但是如果它們不是優(yōu)化解時(shí)，就沒必要求解式（ ）以得到 （ k=0,1， … ， 22 M）。因而，只需用式（ ）求 Q 值，即可得到 （ ） （ ） 另外，當(dāng) N 為偶數(shù)時(shí)，此時(shí) M=（ N2） /2,如果取： 則有 （ ） 這種情況下，不需要求解式（ ），只需求解式（ ）的一次聯(lián)立方程即可。 將是（ ）與式（ ）比較可知，用 代替了 。但與 N 為奇數(shù)時(shí)完全一致， N 為偶數(shù)時(shí)也是從式（ ）求式（ ）的 Q 值，可由式（ ）給出。 通過以上方法求得 Q 值后，即可求得 （ ） FIR 濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì) 最優(yōu)化設(shè)計(jì)是指采用最優(yōu)化準(zhǔn)則來設(shè)計(jì)的方法。在 FIR 數(shù)字濾波器的最優(yōu) 化設(shè)計(jì)中，最優(yōu)化準(zhǔn)則有均方誤差最小化 準(zhǔn)則和等波紋切比雪夫逼近（也稱最 大誤差最小化）準(zhǔn)則兩種。實(shí)際設(shè)計(jì)中，只有采用窗函數(shù)法中的矩形窗才能滿 足前一種最優(yōu)化準(zhǔn)則，但由于吉布斯效應(yīng)的存在，使其根本不能滿足設(shè)計(jì)的要 求。為了滿足設(shè)計(jì)的要求，可以采用其它的窗函數(shù)來消除吉布斯效應(yīng)，但此時(shí) 的設(shè)計(jì)已經(jīng)不能滿足該最優(yōu)化準(zhǔn)則了。因此，要完成 FIR 數(shù)字濾波器的最優(yōu)化 設(shè)計(jì)，只能采用后一種準(zhǔn)則來實(shí)現(xiàn)。 給出 M+2 個(gè) （ i=0,1， … ， M+1）和 Q 時(shí)，利用式（ ）即可決定 23 （ i=0,1， … ， M）。因而利用拉格朗日插值公式可以求得 （ 0≤? ≤π）。同時(shí)又有可能利用這個(gè)插值曲線來研究 （ 0≤? ≤π）的極大值與極小值。 如果誤差函數(shù)滿足 ， 。也就是說，在指定的（ i=0,1， … ， M+1）點(diǎn)上， ，但在指定的 ? 點(diǎn)之外的 點(diǎn)上，存在 的點(diǎn)。 Remez 交換算法，就是利用插值曲線的極值，重新選定使 增加的（ i=0,1， … ， M+1）點(diǎn)。這種操作過程可一直延續(xù)到 不再改變，最終逼近最大誤差最小化解，從而求得等波紋濾波器。 可以形成極值的點(diǎn)，就 是 的符號發(fā)生改變的地方，蕩然它包括極點(diǎn)，也包括端點(diǎn)。利用這種方法，如果選定給出 極值的 M+2 個(gè)點(diǎn)，即，（ i=0,1， … ， M+1）的點(diǎn)，從該極值就能決定波紋的大小。 基于等波紋切比雪夫逼近準(zhǔn)則的 FIR 數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)步驟： 給出所需的頻率響應(yīng) ，加權(quán)函數(shù) 以及濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(n)的長度 N。 由（ 1）中給定的參數(shù)來形成所需的 ， W 表達(dá)式。 根據(jù) Remez 算法，求解逼近問題。 根據(jù)求得的 P(w)表達(dá)式，利用傅里葉逆變換計(jì)算出單位抽樣響應(yīng) h(n)的表達(dá)式即可獲解。 利用數(shù)字信號處理工具中的 remezord 和