【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 得到廣泛運(yùn)用。 杭州電子科技大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 7 3. WignerVille 分布原理 . WignerVille(WVD)分布原理 對(duì)于時(shí)頻能量分布，相信大家最會(huì)感興趣的就是由維格納和威利共同提出來(lái)的WignerVille 分布，簡(jiǎn)寫 WVD，又稱維格納 威利分布。它不但是最先產(chǎn)生的一種表示時(shí)頻的方法，而且還具有非常好的時(shí)頻聚集性，較高的時(shí)間分辨率與頻率分辨率等特點(diǎn)，計(jì)算方法簡(jiǎn)單。維格納 威利時(shí)頻分析就是將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成由時(shí)與頻組成的時(shí)頻矩陣信號(hào) , 是一種二次型變換方法，有很多優(yōu) 越于其他時(shí)頻變換的性質(zhì) , 特別是對(duì)于非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的維格納 威利分布 , 它與尋常的一些時(shí)頻變換比較，如短時(shí)譜會(huì)顯得更加卓越。在利用短時(shí)譜處理 NSRS，假設(shè)信號(hào)在短時(shí)間都是平穩(wěn)的，那么這里就出現(xiàn)非常大的弊端，因?yàn)樗鼤r(shí)間的長(zhǎng)短將會(huì)影響的時(shí)頻分辨率 , 而為了讓其提高還得需要采用較長(zhǎng)的時(shí)間去觀察，那么其將會(huì)與短時(shí)平穩(wěn)條件相矛盾，導(dǎo)致信號(hào)在時(shí)間與頻率上出現(xiàn)模模糊糊的狀況。而維格納 威利時(shí)頻轉(zhuǎn)換卻是一種完全能夠解決這類問(wèn)題的時(shí)頻聯(lián)合表達(dá)信號(hào)特征的方式。 . 信號(hào)的 WignerVille 分布定義 (1)信號(hào) s(t)的 WignerVille 分布的定義： ? ??? ???? ??? ?? detztzftW fjz 2* )2/()2/(),( () 式中： z(t)是 s(t)的解析信號(hào)。如果式 (1)對(duì)把 s(t)替換成 z(t)，那么得到的時(shí)頻分布是 Wigner 分布，但是其不會(huì)被不經(jīng)常使用到。 (2)WignerVille 時(shí)頻分布用解析信號(hào)表達(dá)的頻譜公式表示如下： ??? ?? detZtZftW fjz 2** )2/()2/(),( ? ??? ??? () (3)離散 WV D 分布定義： ??????? LLmNkmjz emnzmnzknW /4* )()(2),( ? () 式中 )(nz 為離散解析信號(hào)。 維納利分布不但能有效地體現(xiàn)信號(hào)的能量隨時(shí)間和頻率的變化 , 而且可以通過(guò)其來(lái)求出瞬時(shí)頻率。不妨證明， WVD 的一階矩和信號(hào)的瞬時(shí)頻率成正比關(guān)系。設(shè)有一個(gè)離散信號(hào)為 )(nz ，則其離散序列的頻率 )(^ nfci 為： )]1()1([4)(2)(1^ ?????? nnfnmkfnf ssci ??? （ ） 式中 : sf 為采樣頻率，離散維格納 威利分布 ),( knWz 一有 K 個(gè)頻率分布（ ),( knWz 可表達(dá)杭州電子科技大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 8 為 N K 的矩陣 )； )(1nm 是離散維格納 威利分布的一階矩。 . WignerVille 分布的性質(zhì) WignerVille 分布具有以下重要的性質(zhì)： （ 1） ),(WVD fts 對(duì)于所有的 t 和 f 值是實(shí)的； （ 2） ),(WVD fts 具有時(shí)移不變性： ),()(s 00 fttW VDtt s ?? ??? （ 3） ),(WVD fts 具有頻移不變性： ),()2e x p ()(s 00 fftW VDtfjt ?? ??? （ 4） ),(WVD fts 滿足時(shí)間邊緣特性： ????? ? 2|)(|),(W V D tsdffts （ 5） ),(WVD fts 具有頻率邊緣特性： ????? ? 2|)(|),(W V D fsdtfts 當(dāng)分析多個(gè)分量的信號(hào)和 NSRS 的時(shí)候，對(duì)其作時(shí)頻分布轉(zhuǎn)換會(huì)在多分量信號(hào)的地方產(chǎn)生互分 布就是交叉項(xiàng)，在圖像上呈現(xiàn)的虛假信號(hào)，從而給信號(hào)的時(shí)頻分布分析造成一定的干擾。對(duì)于任意一個(gè)多分量信號(hào)，二次型時(shí)頻分布必會(huì)然產(chǎn)生一個(gè)交叉項(xiàng)，設(shè)有n 個(gè) 分量信號(hào) ???nk k tsts 1 )()(，可以得到多個(gè)分量信號(hào)的維格納 威利分布 : ? ?? ??? k kj ssk ss ftW V DftW V DftW V D jkk )],(R e [2),(),( （ ） 公式中，),( ftWVDs 表示第 k 分量與第 j 分量 之間的互 WVD，即交叉項(xiàng)。維格納 威利分布的交叉項(xiàng)主要發(fā)生在在兩個(gè)分量的幾何中心處和連接這兩點(diǎn)的直線上面。為此，學(xué)者們于維格納 威利的基礎(chǔ)上又提議能夠抑制交叉項(xiàng)的時(shí)頻分析方法。 WignerVille 分布的改進(jìn) 信號(hào)及其頻譜只在某個(gè)時(shí)間范圍和頻率范圍內(nèi)非零，則稱信號(hào)及其頻譜是有限支撐的。假如信號(hào)的時(shí)頻分布在信號(hào)以及其頻譜的總支撐區(qū)域外面也等于零，那么它就是有限支撐的。交叉項(xiàng)能夠一直出現(xiàn)在于信號(hào)的周圍，抑制交叉項(xiàng)，即使時(shí)頻分布的支撐區(qū)域內(nèi)外交叉項(xiàng)等于零，主要是利用增加對(duì)核函數(shù)約束條件 的方法來(lái)達(dá)成。對(duì)信號(hào)進(jìn)行平滑技術(shù)的濾波過(guò)程，可以減少交叉項(xiàng)對(duì)真實(shí)信號(hào)的干擾程度，但是平滑處理會(huì)喪失維格納 威利分布的許多比較有用的特性，減小自項(xiàng)，信號(hào)項(xiàng)其時(shí)頻凝聚性也會(huì)在一定程度減小并且也不會(huì)全部解除它的交叉項(xiàng)，因此必須對(duì)核函數(shù)的范圍與形狀進(jìn)行合理篩選。下面我們介紹了兩種基于 WVD 分布的改進(jìn)型分布： （ 1）偽 WignerVille 分布（ PWVD） 對(duì)于式（ 1）， ? 的取值范圍為 ），（ ??? ，實(shí)際中無(wú)法滿足，且為解決 WVD 的雙線性產(chǎn)生交叉項(xiàng)問(wèn)題，對(duì) WVD 在頻域進(jìn)行平滑。當(dāng)核函數(shù)只是對(duì) ? 加窗來(lái)截取從而完成減小交叉項(xiàng)的目的，這就是 偽 WVD 變換： 杭州電子科技大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 9 ),()()2()2()(),( ** ??????? ?? tW V DHdetstshtP W V Dsjs ???? ?????? （ ） （ 2）平滑偽 WignerVille 分布（ SPWVD） 對(duì) 變量 t 與變量 ? 的方向同時(shí)經(jīng)過(guò)加窗截取處理，這樣可以將這兩個(gè) t、 ? 方向上的交叉項(xiàng)平滑掉，得到平滑偽 PWVD，這就是 SPWVD 變換： ????? ?? d u deutsutshugtS P W V D js ????? ???? ????? ? ? )2()2()()(),( * （ ） 上式中， )(ug 與 )(?h 分別是 2 個(gè)實(shí)偶窗函數(shù)，同時(shí) 1)0()0( ??Gh 。 為了直觀說(shuō)明 WVD 分布及其改進(jìn)分布的性能，現(xiàn)對(duì)常見信號(hào)的 WVD 分布、PWVD 分布和 SPWVD 分布進(jìn)行仿真。 圖 31 LFM 信號(hào) WVD、 PWVD、 SPWVD 變換產(chǎn)生的時(shí)頻分布 杭州電子科技大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 10 圖 32 頻率編碼信號(hào) WVD、 PWVD、 SPWVD 變換后的時(shí)頻分布 由以上圖 31 可知， WVD 分布高度 集中在時(shí)頻平面圖上，具有較好的時(shí)頻聚集特性，能夠擁有較高的時(shí)間與頻率的分辨率，尤其是識(shí)別性能在線性調(diào)頻信號(hào)上體現(xiàn)效果的更加地好。但是出現(xiàn)了頻譜擴(kuò)展，有交叉項(xiàng)存在，而 PWVD 和 SPWVD 對(duì)信號(hào)分析性能有較大的改善，邊緣更加光滑，雜項(xiàng)較少。 PWVD 轉(zhuǎn)換不僅減少頻率分辨率，并且交叉項(xiàng)抑制效果又不如 SPWVD 分布， SPWVD 通過(guò)時(shí)域的平滑過(guò)程，達(dá)到的抑制交叉項(xiàng)的效果最好。從圖 32 可以看到，在對(duì)頻率編碼信號(hào)進(jìn)行 WVD 分析和 PWVD 分析之后，在兩個(gè)頻率直接出現(xiàn)了第三個(gè)頻率分量，出現(xiàn)了虛信號(hào)，影響 了分析效果，這大部分因素是由時(shí)頻分布其二次型造成的交叉項(xiàng)而導(dǎo)致的，頻率編碼信號(hào)經(jīng)過(guò) SPWVD 分析之后，清除了虛假頻率信息，進(jìn)而抑制了它。 杭州電子科技大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 11 4. PCA 原理 . PCA 概念 PCA 全稱主成分分析（ Principal Component Analysis， PCA），又稱主元分析、 KL變換（ KarhunenLoeve Transform），對(duì)于它的研究可以追溯到 1901 年，由皮爾森首次提出，而主成分分析的概念是由霍特林總結(jié)出來(lái)?；籼亓謱?duì) PCA 的定義如下 :對(duì)一個(gè) d 維度的觀察向量序列 }{tn , }1{ Nn ?? ， PCA 降維的目的就是要獲得 q 個(gè)正交的主方向}1{, qjj ??? ，讓 }{tn 在 q 個(gè)主方向上投影后的方差最大。圖 41 所示就是 PCS 降維的簡(jiǎn)單示例，圖中圓的所組成的直線表示第一主成分，把三角形表示的矩陣往主成分上投影就是矩陣從二維 至一維的最佳降維。 圖 主成分分析示例 假定要觀測(cè)的指標(biāo)共有 p 個(gè)，分別是 pxxx ?, 21 ，顯然有非常多的方法將這些指標(biāo)結(jié)合成為一個(gè)綜合指標(biāo)，但將這些指標(biāo)用線性組合的方法綜合起來(lái)就是最簡(jiǎn)單的方法了。因此，可設(shè)定其綜合指標(biāo)的表達(dá)形式是這些指標(biāo)的線性組合，那么就有 : ppT xxxxy ???? ????? 2212 （ ） 很明顯，因?yàn)楦鹘M合的各個(gè)系數(shù)不相 等，于是可以得到不相等的綜合指標(biāo)。綜合指標(biāo)可以有多個(gè)，所以需要去主成少數(shù)幾個(gè)來(lái)代替原始指標(biāo)。要防止它們發(fā)生重迭，還得約束綜合指標(biāo)間必須是不相關(guān)的。少數(shù)指標(biāo)可以將原始指標(biāo)的變動(dòng)情況傳達(dá)出來(lái)。其中能夠傳達(dá)變動(dòng)程度最大的那個(gè)指標(biāo)是最主要的，就稱之為第一主成分；而能夠能夠傳達(dá)杭州電子科技大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 12 其變動(dòng)程度次大的那個(gè)指標(biāo)，就稱之為第二主成分；就這樣一直下去，即能夠能夠傳達(dá)其變動(dòng)程度第 k 大的那個(gè)指標(biāo)，就稱之為第 k 主成分。 各個(gè)原始觀測(cè)變量的方差反映了各個(gè)原始觀測(cè)指標(biāo)的變動(dòng)程度，而各個(gè)綜合指標(biāo)作為原始觀測(cè)變量的線性組合，其方差的大小就取決于 這些原始觀測(cè)變量各自的方差和它們之間的協(xié)方差。由上可得，主成分可以依據(jù)方差來(lái)來(lái)求得。 設(shè)想有 p 個(gè)向量為 Tpxxxx ),( 21 ?? ，它的均值向量是 ??)(xE ，他們的協(xié)方差矩陣是 ??)(xVar ，那么對(duì)于第 i 個(gè)向量其方差為其協(xié)方差矩陣主對(duì)角線上相應(yīng)的元素 ii? ，而總方差是 )(2211 ?????? trpp???? ?，總方差 )(??tr 可以體現(xiàn)出總體上的變化。某一個(gè)線性組合為： xxxxy Tpp ???? ???? ?2211 ，那么它的方差是： ????? ???? TTT xV a rxV a ryV a r )()()( （ ） 假如定義原始觀測(cè)變量 pxxx ?21, 對(duì)應(yīng)的第一主成分是 )1(y ，第二主成分是)2(y ,??，第 k 主成分是 )(ky ，那么就有： ppppppxpxpxppyxxxyxxxy)()()()()2()2()2()2()1()1()1()1(221122112211????????????????????????? （ ） 并且有： ))(())2(())1(( kyV aryV aryV ar ??? 。 . 主成分的計(jì)算 . 第一主成分的計(jì)算 由 PCA 的概念我們可以知道，若想求得這 p 個(gè)原始指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的第一主成分，就應(yīng)該想辦法去尋求使得 ???T 取得最大值時(shí)的那個(gè)指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的本征向量組合 xy T?? 。由于 ?? ?? TyVar )( 是向量 ? 的增函數(shù) c，也就是說(shuō)對(duì)于給出的任意一個(gè)常數(shù)，它都會(huì)有????? ???? 22)( cccxcV a r TT ，由此如果不對(duì) ? 給予限制，想使得 ???T 取得最大， ?應(yīng)該取無(wú)窮大，這樣會(huì)致使這個(gè)問(wèn)題毫無(wú)意義可言了。因而，通常要是將線性組合 xy T??對(duì)應(yīng)的系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化也就是單位化，令 ?? ?? pi iT 1 2 1???，因而第一主成分的題目轉(zhuǎn)變成在1???T 的條件之下，要使得 ???T 取得最大的向量 ? 的題目，即： ?????? ?? 1:.. ?? ??TTtsmac （ ） 我們可以得到的函數(shù)是： )1( ???? ????? TTU （ ） 由于它是線性的，微分取零可得： 杭州電子科技大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 13 ?????????????????????01022???????TUU （ ） 由前 p 個(gè)方程，可以得到： 0)( ??? ??I （ ） 從 1???T 的約束條件可以得知， 0?? ，因此 0)( ??? ??I 存在非零解。由我們大一所學(xué)的數(shù)學(xué)的知識(shí)可以知道，這時(shí)方程組對(duì)應(yīng)的 pIr ??? )( ? ,其行列式為 0： 0|||| ?????? II ?? （ ）