求函數(shù)極限的若干方法畢業(yè)設(shè)計(jì)論文(編輯修改稿)
2024-10-03 10:17 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 理 設(shè) ),(),(),( yxgyxhyxf 在區(qū)域 D 有意義， ),( 00 yx 是 D 的內(nèi)點(diǎn)或 邊 界點(diǎn)，且 ),( yxg ),(),( yxhyxf ?? ， 若 Ayxhyxgyy xxyy xx ?? ???? ),(lim),(lim 0000， 則 Ayxfyy xx ??? ),(lim 00． 本 章 給出了一元函數(shù) 、二元函數(shù) 極限的基本概念以及 相關(guān)定理 ，下 一章 將重點(diǎn)研究一元函數(shù) 、二元函數(shù) 極限 的 若干計(jì)算方法 ． 綏化學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)論文 6 第 2章 函數(shù)極限的計(jì)算方法 在這一章里將利用第一章 中 一元函數(shù)、二元函數(shù)極限 的相關(guān)定義及定理，研究 一元函數(shù)、二元函數(shù)極限的若干計(jì)算方法與技巧． 第 1 節(jié) 一元函數(shù)極限的計(jì)算方法 1． 1 利 用定義求函數(shù)的極限 例 1 證明 ： ? ? 422lim1 ??? xx． 證 ?? ＞ 0， ? ? 12422 ???? xx ＜ ? 成立 ， 解得 1?x ＜ 2? ， 取 2??? ， 于是存在 2??? ，使得 當(dāng) 0 ＜ 1?x ＜ ? 時(shí) ,有 ? ? 422 ??x ＜ ? ， 故 ? ? 422lim1 ??? xx ． 注：一般 ? 的取值要依賴于 ? ，但它不是由 ? 唯一確定的 ． 在上例 中還可以把 ? 取的更小一些 ， 這取決于函數(shù)式放縮的程度 ． 例 2 證明 ：???xlim xx xx 23 122 ??? =31 ． 解析 這是一個(gè)關(guān)于自變量 x 趨向于無(wú)窮大的函數(shù)極限，先將函數(shù)式適當(dāng)放大，再根據(jù)函數(shù)定義求證函數(shù)極限 ． 證 ? ?233 653123 1 222?????? ?? xxxx xx， 當(dāng) 2x? ， 5 6 0x?? ， 03323 22 ???? xxxx ， 有 ? ? ? ?? ? xxxxxx xxx xx 19519 15333 653123 1 2222 ?????????? ?? ， 0??? ，取 1m ax 2,N ?????? ????????，則 當(dāng) Nx? 時(shí)，有 綏化學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)論文 7 ??? ?? xx xx 23 122 ， 故 ???xlim xx xx 23 122 ??? =31 ． 利用定義法求函數(shù)極限時(shí)要注意： （ 1） 在上面的式子中運(yùn)用了適當(dāng)放大的方法 ， 這樣求解比較簡(jiǎn)便 ． 但要注意這種放大必須要“適度”，這樣才能根據(jù)給定的 ? 來(lái)確定 N ， 同時(shí)要注意此題中的 N 不一定非要是整數(shù)，只要是正數(shù)即可 ； （ 2） 函數(shù)在所求點(diǎn)的極限與函數(shù)在此點(diǎn)是否連續(xù)無(wú)關(guān)，函數(shù)極限表示的是自變量趨向某點(diǎn)時(shí)函數(shù)值的變化規(guī)律 ． 對(duì)于一般的函數(shù)而言，利 用定義法 來(lái) 求函數(shù) 的 極 限 通常 比 較麻煩， 但是， 對(duì)于分段函數(shù) 間斷點(diǎn)處的極限 問(wèn)題 最常用 的還是定義法 ． 對(duì)于這類問(wèn)題， 通常 根據(jù)分段函數(shù)極限的定義，先求出函數(shù)在此間斷點(diǎn)處的左右極限，若左右極限相等，則所求函數(shù)極限存在，否則，極限不存在 ． 例 3 ? ????????????0,c o s10,s in22xxxxx xxf ，求 ??xf 在 0?x 時(shí)的極限 ． 解 ? ? 2s i n2l i m000 ??? ?? xxfx， ? ? 221limc o s1lim00 22020 ????? ?? ?? xxxxfxx， ? ? ? ? 20200 ???? ff ， 故 ? ? 2lim0 ?? xfx ． 綏化學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)論文 8 例 4 討論 ? ?? ?? ? ? ?????????? ??? ???1,1 1s in1,1 22xx xxx xxxf ，在點(diǎn) 1?x 處的極限 ． 解 ? ?01?f = 1 2lim 21 ????? xxxx= ? ?? ?1 12lim1 ????? xxxx=3， ? ? ? ? 11 1s inlim01 1 ?? ??? ?? x xf x ， ? ? ? ?0101 ??? ff ， 故 ? ?xfx 1lim?不存在 ． 對(duì)于未定式的極限問(wèn)題最常用的是洛比達(dá)法則 ． 1． 2 用洛比達(dá)法則求未定式極限 例 5 求極限 x xxx23lim0??． 解析 當(dāng) 0?x 時(shí)，分子趨向于 0，分母趨向于 0，這是一個(gè) 00 型極限，可直接用洛比達(dá)法則 ． 解 由洛比達(dá)法則， x xxx23lim0??=03 ln 3 2 ln 2 3li m ln12xxx ?? ?． 注：若使用了洛比達(dá)法則后，分子分母導(dǎo)數(shù)之比依然符合洛比達(dá)法則，則可繼續(xù)使用洛比達(dá)法則，直到求出函數(shù)極限值為止 ． 例如： 616lim6 1lim3 1lim 0020 ?????? ??? xxxxxx exex xe ． 例 6 求極限 xxx ln2lim0?? ? ???0． 分析 用恒等變形，xxxx21lnln2 ? ，這是一個(gè) ?? 型的極限，再用洛比達(dá)法則求解 ． 解 綏化學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)論文 9 0lim2 lnx xx?? ? ? ? 02lim112lim21lnlim0200????? ??????xxxxxxxx． 例 7 求極限 xx xsin0lim??（ 0 ） ． 解析 0sin,0 ?? ? xx ， 對(duì) x 取對(duì)數(shù)，使函數(shù)變?yōu)???0 的形式，然后利用上題的方法求解 ． 解 xx xsin0lim??=??0limxsin lnxxe ， 其中 ??0limxsin lnxx0lnlim 1xxx???????????? 20 11limxxx ??? = ? ? 0lim0 ???? xx， 故 xx xsin0lim?? =e0 =1． 在運(yùn)用洛比達(dá)法則時(shí)，應(yīng)該注意以下問(wèn)題： ①洛比達(dá)法則中的求導(dǎo)是分別對(duì)分子和分母 同時(shí) 求導(dǎo)，而不是對(duì)整個(gè)式子的求導(dǎo) ； ②倘若最后所得的極限不存在，并不代表函數(shù)無(wú)極限，可以換用其 它方法求函數(shù)極限 ； ③在運(yùn)用時(shí)要注意洛比達(dá)法則所要 滿足 的條件 ． 1． 3 用代換法求函數(shù)的極限 洛比達(dá)法則成功的解決了未定式極限的問(wèn)題，但有時(shí)函數(shù)比較復(fù)雜，若使用洛比達(dá)法則較麻煩，這時(shí)可以將函數(shù)用其它形式的函數(shù)等價(jià)代換，化繁為簡(jiǎn)，這就是用代換法求極限 ??3 ． （ 1） 利用馬克勞林公式求函數(shù)極限 馬克勞林公式： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 3 10 0 000 2 ! 3 ! !n nnf f ff x f f x x x x o xn ??? ????? ? ? ? ? ? ?． 綏化學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)論文 10 例 8 求極限 ? ?4420 s inc oslim2xxex xx?? ??． 解 首先將下列初等函數(shù)化成馬克勞林公式 ? ?24 5cos
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