求異面直線距離的幾種方法畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-10-03 10:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ； 將兩條異面直線射影到同一平面內(nèi)，射影分別是點(diǎn)和直線或兩條異面直線，那么點(diǎn)和直線兩條平行線的距離就是這兩條異面直線射影間的距離。 例 5. 如圖在正方體 DCBAABCD ????? 中， NMAB ,1? 分別是棱 CCAB ?, 的中點(diǎn)， E 是 BD的中點(diǎn)，求異面直線 ENMD ,? 間的距離。 解 ：把異面直線 ENMD ,? 的射影到同一平面內(nèi)，兩射影間的距離就是所求異面直線之間的距離。 取 BC的中點(diǎn) Q，連接 EQ,EN 因?yàn)?E,Q 是中點(diǎn)，得 CCBDCBCEQDCEQ ??? 平面,// 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 5 QNEFMD39。 C39。B39。A39。CDA BnmAEdB DCA得 CBCEQ ?? 平面 又因?yàn)?QNEQ? 得 ， EN 的射影為 QN。 再取 CD?? 的中點(diǎn) F， 同理 ， MF 是 MD? 的射影 ， CBMF ?// 得 CB? 是 MD? 的射影 。 從而 CBQM ?, 是 EN 和 MD? 在平面 BCBC ?? 上的射影。 QN 與 CB? 間的距離就是兩條異面直線的距離 因?yàn)?Q 是 BC 的中點(diǎn)，得 21??QBQC 又 45??? BQC 176。，設(shè) QN 與 CB? 的距離為 h ， 從而 412 22 ?? BQh 得 42?h ， 即異面直線 ENMD ,? 間的距離為 42 ； 求異面直線之間的距離，我們還可以用下面兩個(gè)公式來求。 公式 1 如圖 ⑴ ，三棱錐 ABCD 中 ， 若 AB 和 CD 所成的角為 ? ，三棱錐ABCD 的體積為 VBCDA? , 則異面直線 AB 與 CD 間的距離 ?sin6 ??? ?CDABd V BCDA ⑴ ⑵ 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 6 mnPD39。 C39。B39。A39。CDAB 公式 2 .已知面積 ??? ?? ，二面角 ?? ??a 的平面角為 ? ，如圖（ 2），直線 b 與平面 ??， 分別交與 A,E 到棱 a 的距離為 n ,m, 則異面直線 a 與 b 之間的距離 ?? c o s2s in22 mnnm mnd ??? 例 ，已知正方體 DCBAABCD ????? ，其邊長(zhǎng)為 Pa, 是 CB?? 的中點(diǎn)，求 AC 與 BP 間的距離。 解 ：（公式 1） 設(shè)異面直線 AC 與 BP 所成的角為 ? 取 DA?? 的中點(diǎn) N，連接 AN 因?yàn)?P 是 CB? 的中點(diǎn)，得 //B P A N A C D ???， 則 很容易解能求出 10103sin ??CAD 。 aBPaAC 25,2 ?? 62131 32 aaaV A B CP ???? aaaaBPACdV ABCP321010325266s i n63???????? ? ? 即 AC 與 PB 之間的距離為 a32 ； （用公式 2） 解 ：設(shè) B到 AC 的距離為 m， P 到 AC 的距離為 n. 2 3 2,24m a n a?? 設(shè)二面角 PACB的平面角為 ? 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 7 PQNOD39。C39。B39。A39。CDA B用面積的射影公式 得 31cos ?? 因?yàn)? 1c ossin 22 ?? ?? 得 332sin ?? aaaaaaamnnmmnd3231423222892133222322c o s2s i n2222 ????????????? 即 AC 與 PB 之間的距離為 a32 ； 找出一條直線，使兩條直線都垂直，但這條直線不是公垂線，這時(shí)把這條直線設(shè)法平移到這兩異面直線相交然后求
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