【文章內(nèi)容簡介】 ,2,1),( 1 kxgx kk () 已產(chǎn)生序列 }{kx . 這一類迭代法稱為不動(dòng)點(diǎn)迭代 . )(xg 又被稱為迭代函數(shù)， 很顯然，若迭代序列 }{kx 收斂，即有 ,lim pxkk ??? () 且 )(xg 連續(xù)，則 p 是 g 的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)． 例 [2] 方程 042)( 23 ???? xxxf 在區(qū)間 ? ?2,1 中有唯一跟 . 我們可以用不同的方法將它化為方程： （ 1） 。42)( 231 ????? xxxxgx （ 2） 。22)( 212 ?????? ?????? ??? xxxgx （ 3） 。22)(2133 ???????? ??? xxgx （ 4） 。2 12)( 214 ?????? ??? xxgx （ 5） ,43 42)(2235 xx xxxxgx ? ????? 等等 . 取初始值 ?x ，分別用式 ()的迭代格式計(jì)算，結(jié)果如下表． 7 表 例 迭代公式計(jì)算結(jié)果 k )( 11 ?? kk xgx )( 12 ?? kk xgx )( 13 ?? kk xgx )( 14 ?? kk xgx )( 15 ?? kk xgx 1 ? ?? 2 3 ? 4 ?? 5 6 7 8 9 10 11 12 13 29 30 31 32 109 110 119 120 從表 中可以看到，選取迭代函數(shù)為 )(4xg ， )(5xg ，分別 12 次和 4 次，得到方程的近似根 ．若選取 )(3xg 作為迭代函數(shù)，則 k 為奇數(shù)時(shí)迭代子序列單調(diào)增加，k 為偶數(shù)時(shí)迭代子序列單調(diào)減小，迭代 120 次得到近似根 ． 若選取 )(1xg 作為迭代函數(shù)，則迭代序列不收斂， 若選取 )(2xg 為迭代函數(shù)，則出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開方，因而無法繼續(xù)進(jìn)行迭代． 不動(dòng)點(diǎn)迭代算法的收斂性 通過例 ，可以總結(jié)出，對(duì)于同一個(gè)非線性方程的求解問題，在轉(zhuǎn)化為 迭代方程 8 時(shí)應(yīng)該要使其解的迭代次數(shù)達(dá)到最小，且得到的解應(yīng)該最精確 . 在選擇迭代函數(shù) )(xg 的基本原則是，首先必須保證不動(dòng)點(diǎn)迭代序列 ?????? , 21 kxxx 在 )(xg 的定義中，以使迭代過程不至于中斷；其次要求迭代序列 }{kx 收斂且盡可能收斂得快 . 定理 [2] 假設(shè) )(xg 為定義在有限區(qū)間 ? ?ba, 上的一個(gè)函數(shù)，它滿足以下條件 （ 1）對(duì)任意 ? ?bax ,? 有 ? ?。,)( baxg ? () （ 2） )(xg 的導(dǎo)數(shù) )(xg? 在 ? ?ba, 上有界，且存在正數(shù) 1?L 使得對(duì)一切 ? ?bax ,? 有 ,1|)(| ??? Lxg () 那么對(duì)于任意初始值 ? ?bax ,0? 由不動(dòng)點(diǎn)迭代 ()產(chǎn)生的序列都收斂于 g 在 ? ?ba, 的唯一不動(dòng)點(diǎn) p ，并且有誤差估計(jì)式 |,|1||01 xxLLekk ??? ,1?k () 其中 pxe kk ?? . 證明 首先證明 g 的不動(dòng)點(diǎn)存在且唯一 . 令 ).()( xgxxh ?? () 據(jù)條件 (1) ,0)()( ??? agaah .0)()( ??? bgbbh 又據(jù)條件 (2)，在 )(xg? 上存在，因此 )(xg 在 ? ?ba, 上連續(xù)，從而 )(xh 在 ? ?ba, 上也連續(xù)，因此方程 0)( ?xh 在 ? ?ba, 上至少有一個(gè)跟．現(xiàn)假設(shè)方程 0)( ?xh 在 ? ?ba, 上有兩個(gè)根qpqp ?, ，則由 Lagrange 中值定理知，在 p 與 q 之間存在 ? 使得 |,||)(||))((||)()(||| qpgqpgqgpgqp ????????? ?? 再由 () .|||||||)(| qpqpLqpg ?????? ? 這就得到 矛盾式： .|||| qpqp ??? 因此 qp? ，即 0)( ?xh 在 ? ?ba, 中的根是唯一的． 其次證明由 不動(dòng)點(diǎn)迭代格式 ()產(chǎn)生的序列 }{kx 是收斂于 p 的．根據(jù)定理?xiàng)l件 (1) ? ?baxk ,? ， ???? ,2,1,0k ，因此不動(dòng)點(diǎn)迭代過程不會(huì)中斷．由 ()式有 ).()( 1 pgxgpx kk ??? ? () 應(yīng)用 Lagrange 中值定理，并根據(jù) ()式有 |||||)(||)()(||| 111 pxLpxgpgxgpx kkkk ???????? ??? ? 9 .|| 0 pxLk ?????? () 因?yàn)?10 ??L ，所以 ,0||l i m||l i m0 ???? ???? pxLpx kkkk 即 .lim pxkk ??? () 最后，推導(dǎo)估計(jì)式 ()． 應(yīng) 用收斂性的證明過程，有 |||)()(||| 111 ????????? ????? jkjkjkjkjkjk xxLxgxgxx |,| 01 xxL jk ?????? ? () 于是 ? ? ?? ?? ????? ???? ?????10 110 1||mj jkjkmj jkjkkmk xxxxxx ||1 )1(|| 010110 xxLLLxxLmkmjjk ?????? ???? .||101 xxLLk ??? () 在上式中令 ??m ，得 .1||||01 xxLLpxekkk ????? () ()式得證． 例 [2] 討論例 中不動(dòng)點(diǎn)迭代 ???????????? ??? ?? ,2,1,22)(213 113 kxxgx kkk () 的收斂性 . 為使解的近似值的誤差不超過 810? ，試確定迭代次數(shù)． 解 迭代法 ()的迭代函數(shù)為 .22)(2133 ???????? ?? xxg )(3xg 的定義域?yàn)?]4,( 3?? ．取初始值 ?x ，由不動(dòng)點(diǎn)迭代 ()得 ?x ，因此取區(qū)間 ? ? ? ?, ?ba ．由于 ,02243)( 22133 ????????? ???? ? xxxg ? ?,?x 因此 )(3xg 在 ? ?, 上單調(diào)減小． 而 ? ? ,)()(m i n , ??? gxgx 10 ? ? ,)()(m a x , ??? gxgx 于是，當(dāng) ? ?,?x 時(shí)， ? ?,)(3 ?xg ，但 ,04432243)( 232333 ??????? ?????????? ????? ? xxxxxg ? ?,?x )(3xg? 在 ? ?, 上單調(diào)減小，因此 ? ? ? ?? ?3 3 , , a x | ( ) | m a x | ( ) | , | ( ) |xxg x g g??? ? ?? .)(3 ??? g 因此，定理 的 條件 (2)不 成立．從表 看到，取 ?x 作為初始值 0x ， ?x 作為 1x ．當(dāng) ? ?3031,xxx? 時(shí)， ? ?303132,31 , xxxx ? 從而 ? ?30313 ,)( xxxg ? ．又由于 ? ?3 1 3 033,| ( ) | max | ( ) |x x xg x g x???? ? ?3 31 3 30m a x | ( ) | , | ( ) |g x g x??? ,18 5 3 5 4 1 0 7 )( 303 ????? Lxg 因此定理 的條件成立．故迭代過程收斂 ? ?3031,xx 中任意取初值，為使解 p 的近似值 kx的誤差不超過 810? ，根據(jù)誤差估計(jì)式 () |,|1||01 xxLLpxkk ???? 只要 .10||1 801 ???? xxLLk 因此， k 應(yīng)取為 8 10||lg 1 0 lg 1lgxxLk L????? 8 53 5 41 0 1 46 4 58 9 1 28 1 16 3 33 0 74 6 ?????? ???? .? 取 138?k ．于是迭代 138+30=168 次必可使近似解的誤差不超過 810? ． 實(shí)際上，從表 中可以看到，只要迭代 110 次便可達(dá)到所要求解的精度． ()式右端是最大可能的誤差界． 就本例來說，估計(jì)的迭代次數(shù)偏大了 . 11 不動(dòng)點(diǎn)迭代 算 法的收斂速度 定理 [2] 在定理 的假設(shè)條件下，再設(shè)函數(shù) )(xg 在區(qū)間 ? ?ba, 上 )2(?m 次連續(xù)可微，且在方程 ()的跟 p 處 ,0)()( ?pgj ,1,1 ????? mj ,0)()( ?pg m () 則不動(dòng)點(diǎn)迭代為 m 階收斂 . 證明 據(jù)定理 知，方程 （ ） 在 ? ?ba, 上有唯一根 p ．且對(duì)任意初始值 ? ?bax ,0? ，不動(dòng)點(diǎn)迭代序列 ??kx 收斂于 p 由于