【正文】 2] 方程 042)( 23 ???? xxxf 在區(qū)間 ? ?2,1 中有唯一跟 . 我們可以用不同的方法將它化為方程： （ 1） 。本人授權(quán) 大學可以將本學位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復制手段保存和匯編本學位論文。盡我所知，除文中特別加以標注和致謝的地方外 ，不包含其他人或組織已經(jīng)發(fā)表或公布過的研究成果，也不包含我為獲得 及其它教育機構(gòu)的學位或?qū)W歷而使用過的材料。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文 中以明確方式標明。圖表整潔，布局合理，文字注釋必須使用工程字書寫，不準用徒手畫 3）畢業(yè)論文須用 A4 單面打印，論文 50 頁以上的雙面打印 4）圖表應繪制于無格子的頁面上 5）軟件工程類課題應有程序清單，并提供電子文檔 1）設計（論文） 2）附件：按照任務書、開題報告、 外文譯文、譯文原文（復印件）次序裝訂 3）其它 IV 摘 要 非線性方程在工程實踐、經(jīng)濟學信息安全和動力學等方面的大量實際問題中有著極為廣泛的應用，而不動點迭代算法作為數(shù)學研究的一個新方向，是求解非線性方程問題的一個最基本而又重要的方法 . 本文主要介紹了非線性方程求解的不動點算法及其研究，首先，綜述了非線性方程求解的不動點算法的研究背景、并闡述了本文的主要工作以及介紹了誤差、有限差等基本知識；然后，詳細介紹了不動點迭代算法的基本思想、在什么條件下方程存在不動點的收斂定理、不動點的收斂階定理 和 Atiken 加速公式；最后，考慮到方程可能會不滿足不動點 迭代 收斂定理的兩個條件的情況提出了反函數(shù)法、牛頓迭代法、 Steffensen 迭代法和松弛法這四中處理方法 . 關鍵詞：非線性方程，不動點原理，迭代法 I ABSTRACT A large number of practical problems of nonlinear equations in engineering practice,economics of information security and other the dynamics has a very wide range of a new direction in the study of mathematics,fixed point iterative algorithm is a basic and important methods to solving nonlinear equations problem. This paper describes the solving nonlinear equations fixed point algorithm and research. First, the research background of solving nonlinear equations fixed point algorithm and the main word are introduced, the basic knowledge of errors,finite difference are introduced 。,)( baxg ? () （ 2） )(xg 的導數(shù) )(xg? 在 ? ?ba, 上有界，且存在正數(shù) 1?L 使得對一切 ? ?bax ,? 有 ,1|)(| ??? Lxg () 那么對于任意初始值 ? ?bax ,0? 由不動點迭代 ()產(chǎn)生的序列都收斂于 g 在 ? ?ba, 的唯一不動點 p ，并且有誤差估計式 |,|1||01 xxLLekk ??? ,1?k () 其中 pxe kk ?? . 證明 首先證明 g 的不動點存在且唯一 . 令 ).()( xgxxh ?? () 據(jù)條件 (1) ,0)()( ??? agaah .0)()( ??? bgbbh 又據(jù)條件 (2)，在 )(xg? 上存在，因此 )(xg 在 ? ?ba, 上連續(xù)，從而 )(xh 在 ? ?ba, 上也連續(xù)，因此方程 0)( ?xh 在 ? ?ba, 上至少有一個跟．現(xiàn)假設方程 0)( ?xh 在 ? ?ba, 上有兩個根qpqp ?, ，則由 Lagrange 中值定理知，在 p 與 q 之間存在 ? 使得 |,||)(||))((||)()(||| qpgqpgqgpgqp ????????? ?? 再由 () .|||||||)(| qpqpLqpg ?????? ? 這就得到 矛盾式： .|||| qpqp ??? 因此 qp? ，即 0)( ?xh 在 ? ?ba, 中的根是唯一的． 其次證明由 不動點迭代格式 ()產(chǎn)生的序列 }{kx 是收斂于 p 的．根據(jù)定理條件 (1) ? ?baxk ,? ， ???? ,2,1,0k ，因此不動點迭代過程不會中斷．由 ()式有 ).()( 1 pgxgpx kk ??? ? () 應用 Lagrange 中值定理，并根據(jù) ()式有 |||||)(||)()(||| 111 pxLpxgpgxgpx kkkk ???????? ??? ? 9 .|| 0 pxLk ?????? () 因為 10 ??L ，所以 ,0||l i m||l i m0 ???? ???? pxLpx kkkk 即 .lim pxkk ??? () 最后，推導估計式 ()． 應 用收斂性的證明過程，有 |||)()(||| 111 ????????? ????? jkjkjkjkjkjk xxLxgxgxx |,| 01 xxL jk ?????? ? () 于是 ? ? ?? ?? ????? ???? ?????10 110 1||mj jkjkmj jkjkkmk xxxxxx ||1 )1(|| 010110 xxLLLxxLmkmjjk ?????? ???? .||101 xxLLk ??? () 在上式中令 ??m ，得 .1||||01 xxLLpxekkk ????? () ()式得證． 例 [2] 討論例 中不動點迭代 ???????????? ??? ?? ,2,1,22)(213 113 kxxgx kkk () 的收斂性 . 為使解的近似值的誤差不超過 810? ，試確定迭代次數(shù)． 解 迭代法 ()的迭代函數(shù)為 .22)(2133 ???????? ?? xxg )(3xg 的定義域為 ]4,( 3?? ．取初始值 ?x ，由不動點迭代 ()得 ?x ，因此取區(qū)間 ? ? ? ?, ?ba ．由于 ,02243)( 22133 ????????? ???? ? xxxg ? ?,?x 因此 )(3xg 在 ? ?, 上單調(diào)減?。? 而 ? ? ,)()(m i n , ??? gxgx 10 ? ? ,)()(m a x , ??? gxgx 于是，當 ? ?,?x 時， ? ?,)(3 ?xg ，但 ,04432243)( 232333 ??????? ?????????? ????? ? xxxxxg ? ?,?x )(3xg? 在 ? ?, 上單調(diào)減小，因此 ? ? ? ?? ?3 3 , , a x | ( ) | m a x | ( ) | , | ( ) |xxg x g g??? ? ?? .)(3 ??? g 因此，定理 的 條件 (2)不 成立．從表 看到，取 ?x 作為初始值 0x ， ?x 作為 1x ．當 ? ?3031,xxx? 時， ? ?303132,31 , xxxx ? 從而 ? ?30313 ,)( xxxg ? ．又由于 ? ?3 1 3 033,| ( ) | max | ( ) |x x xg x g x???? ? ?3 31 3 30m a x | ( ) | , | ( ) |g x g x??? ,18 5 3 5 4 1 0 7 )( 303 ????? Lxg 因此定理 的條件成立．故迭代過程收斂 ? ?3031,xx 中任意取初值，為使解 p 的近似值 kx的誤差不超過 810? ，根據(jù)誤差估計式 () |,|1||01 xxLLpxkk ???? 只要 .10||1 801 ???? xxLLk 因此， k 應取為 8 10||lg 1 0 lg 1lgxxLk L????? 8 53 5 41 0 1 46 4 58 9 1 28 1 16 3 33 0 74 6 ?????? ???? .? 取 138?k ．于是迭代 138+30=168 次必可使近似解的誤差不超過 810? ． 實際上，從表 中可以看到，只要迭代 110 次便可達到所要求解的精度． ()式右端是最大可能的誤差界． 就本例來說，估計的迭代次數(shù)偏大了 . 11 不動點迭代 算 法的收斂速度 定理 [2] 在定理 的假設條件下，再設函數(shù) )(xg 在區(qū)間 ? ?ba, 上 )2(?m 次連續(xù)可微，且在方程 ()的跟 p 處 ,0)()( ?pgj ,1,1 ????? mj ,0)()( ?pg m () 則不動點迭代為 m 階收斂 . 證明 據(jù)定理 知，方程 （ ） 在 ? ?ba, 上有唯一根 p ．且對任意初始值 ? ?bax ,0? ，不動點迭代序列 ??kx 收斂于 p 由于 ),()()()(11 pgepgpgxgpxe kkkk ??????? ?? () 據(jù) Taylo