常用數(shù)值分析方法1非線性方程求根(編輯修改稿)
2025-06-20 07:56 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?,8 6 0 0 2 3,3 7 6 9 5 ,1 2 202120211321313xxxxxxxxxnnn21 22201020102nnxxxx??????（ ） 若 化 原 方 程 為 等 價(jià) 方 程 ：按 迭 代 格 式 ：計(jì) 算 結(jié) 果 見(jiàn) 下 表 1 ：W Y 05:20 2021/6/17 20/44 例 4（續(xù)） n xn n xn 0 8 1 9 2 10 3 11 4 12 5 13 6 14 7 15 的近似根。即為方程滿足精度要求所以因?yàn)椋?101561415???????xxx表 12 W Y 05:20 2021/6/17 21/44 迭代法舉例（續(xù)） 例 5 內(nèi)的實(shí)根在區(qū)間用迭代法求方程 ],1[ 032 24 ???? xxx 解 ： 對(duì)方程進(jìn)行變換，可得如下三種等價(jià)形式： 14)()23()(32)(34/122241????????????xxxxxxxxxxx??? ； 分別按以上三種 形式建立迭代格式， 并取 x0 = 1進(jìn)行迭代 計(jì)算，結(jié)果如下： 71 1 3 41 2 26 271 3 6 7( ) 96 , 95 30 7 10( ) 24 12 3( ) 24 12 3 * 24 12 30 29kkkkkkx x x xx x x xx x x xx??????? ? ? ?? ? ?? ? ???準(zhǔn) 確 根例 5的計(jì)算結(jié)果表明： 將一方程化為等價(jià)方程的方法很多，由此可構(gòu)造許多不同的迭代函數(shù)，得到多種迭代格式。而它們所產(chǎn)生的迭代序列則可能收斂，也可能發(fā)散，可能收斂很快，也可能收斂很慢。 迭代法的收斂性取決于迭代函數(shù)在方程的根的鄰近的性態(tài)。 W Y 05:20 2021/6/17 22/44 迭代法的幾何含義 從幾何上看，迭代法是將求曲線 y = f(x) 的零點(diǎn)問(wèn)題化為求曲線 y = ? (x)與直線 y = x的交點(diǎn)，迭代過(guò)程如圖 12所示，從初始點(diǎn) x0出發(fā)，沿直線 x = x0走到曲線 y = ? (x)，得點(diǎn) (x0, ? (x0))，再沿直線 y = ? (x0)走到直線 y = x，交點(diǎn)為 (x1, ? (x1))，如此繼續(xù)下去，越來(lái)越接近點(diǎn) (x*, x*)。 y y = x y = ?(x) x x0 x2 x* x1 x y y = x y = ?(x) x2 x0 x* x1 圖 12 迭代法收斂幾何示意圖 （ a）兩端收斂 （ b）一端收斂 W Y 05:20 2021/6/17 23/44 當(dāng)然，迭代過(guò)程也可能出現(xiàn)圖 13所示的情況，此時(shí)點(diǎn)(xn, xn)越來(lái)越遠(yuǎn)離交點(diǎn) (x*, x*)，迭代序列 發(fā)散 。 由此可見(jiàn)， 使用迭代法必須解決兩個(gè)問(wèn)題 ： 一是 迭代格式滿足什么條件才能保證收斂； 二是 如何判別迭代收斂的速度，建立收斂快的迭代格式。 迭代法的幾何含義（續(xù)） y y = x y = ?(x) x x2 x0 x* x3 x1 y = x y = ?(x) x x2 x0 x* x1 圖 13 迭代法發(fā)散幾何示意圖 （ a）兩端發(fā)散 （ b）一端發(fā)散 W Y 05:20 2021/6/17 24/44 迭代法的收斂條件 （三大定理） 定理 （壓縮映象原理） 設(shè) 函數(shù) ? (x)在區(qū)間 [a, b]上滿足條件： bxabax ??? )(],[1 ?都有）對(duì)任意的（yxLyxbayxL??????)()(],[,102??都有使得對(duì)一切）存在常數(shù)（則： 方程 x =? (x)在 [a, b]內(nèi)有唯一的根 x*，且對(duì)任意初值 x0 ? [a, b]，迭代序列： 1*110( ) ( 0 , 1 , ) * ( 1 4)1 * ( 1 5 )1nnn n nnnx x nxLx x x xLLx x x xL???? ? ?? ? ? ??? ? ? ??均 收 斂 于 ， 并 且 有 ：證明略 定理 給出了判別迭代收斂的充分條件。 W Y 05:20 2021/6/17 25/44 兩個(gè)重要誤差公式 1. 式 （ 12） 說(shuō)明，在正常情況下，即 L不太接近于 1（若L接近于 1，則收斂速度很慢）， 可用相鄰兩次迭代值之差的絕對(duì)值來(lái)估計(jì)誤差，控制迭代次數(shù) 。 LLxxxxnnn ????? ? 1* 1?? 即：就停止計(jì)算，取 xn作為方程的近似根。 這種用相鄰兩次計(jì)算結(jié)果來(lái)估計(jì)誤差的方法，稱為 事后估計(jì)法 。 即當(dāng)給定精度 ε時(shí)，如果有： 1* ( 1 4 )1n n nLx x x xL ?? ? ? ??1 10* ( 1 5 )1nnLx x x xL? ? ? ??2 W Y 05:20 2021/6/17 26/44 2. 而式 （ 13） 的誤差估計(jì)，稱
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